绝密★启用前。
北京市2024年高级中学招生考试。
数学。本试卷满分120分，考试时间120分钟。
第ⅰ卷(选择题共30分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.截止到2024年6月1日，北京市已建成个地下调蓄设施，蓄水能力达到立方米。将用科学记数法表示应为。
abcd.
2.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是 (
abcd.
3.一个不透明的盒子中装有个红球、个黄球和个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为。
abcd.
4.剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为。
5.如图，直线， ,交于一点，直线，若， ,则的度数为。
a. b.
c. d.
6.如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为。
ab. cd.
7.某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是。
a. b.
c. d.
8.如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图。若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向。
表示太和门的点坐标为，表示九龙壁的点的坐标为，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是。
a.景仁宫。
b.养心殿。
c.保和殿。
d.武英殿。
9.一家游泳馆的游泳收费标准为元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
例如，购买类会员卡，一年内游泳次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为。
a.购买类会员年卡b.购买类会员年卡。
c.购买类会员年卡d.不购买会员年卡。
10.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的组成。为记录寻宝者的进行路线，在的中点处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为，寻宝者与定位仪器之间的距离为，若寻宝者匀速行进，且表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为 (
abcd.
第ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分。把答案填写在题中的横线上)
11.分解因式： .
12.如图是由射线， ,组成的平面图形，则 .
13.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架。它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术。其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就。
九章算术》中记载：“今有牛。
五、羊二，直金十两；牛。
二、羊五，直金八两。问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有头牛、只羊，值金两；头牛、只羊，值金两。问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金两，每只羊值金两，可列方程组为 .
14.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数的值。
15.北京市2009—2024年轨道交通日均客运量统计如图所示。根据统计图中提供的信息，预估2024年北京市轨道交通日均客运量约万人次，你的预估理由是 .
16.阅读下列材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小芸的作法如下：
老师说：“小芸的作法正确。”
请回答：小芸的作图依据是。
三、解答题(本题共13小题，共72分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)
17.(本小题满5分)
计算：.18.(本小题满5分)
已知。求代数式的值。
19.(本小题满5分)
解不等式组并写出它的所有非负整数解。
20.(本小题满5分)
如图，在中， ,是边上的中线， 于点。
求证：.21.(本小题满5分)
为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用。到2024年底，全市已有公租自行车辆，租赁点个。预计到2024年底，全市将有公租自行车辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2024年底平均每个租赁点的公租自行车数量的倍。
预计到2024年底，全市将有租赁点多少个？
22.(本小题满5分)
在□中，过点作于点，点在边上， ,连接。
1)求证：四边形是矩形；
2)若， ,求证：平分。
23.(本小题满5分)
在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一个交点为，与轴、轴分别交于点。
1)求的值；
2)若，求的值。
24.(本小题满5分)
如图，ab是的直径，过点作的切线，弦，交于点，且，连接， ,延长交地点。
1)求证：是等边三角形；
2)连接，若，求的长。
25.(本小题满5分)
阅读下列材料：
2024年清明小长假，北京市属公园开展以 “清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为万人次。其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为万人次、万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为万人次、万人次、万人次；北京动物园游客接待量为万人次，熊猫馆的游客密集度较高。
2024年清明小长假，天气晴好，北京晴好，北京市属公园游客接待量约为万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2024年清明小长假增加了；颐和园游客接待量为万人次，比2024年清明小长假增加了万人次；北京动物园游客接待量为万人次。
2024年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为万人次、万人次、万人次。
根据以上材料回答下列问题：
1)2024年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为万人次；
2)选择统计表或统计图，将2014—2024年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来。
26.(本小题满5分)
有这样一个问题：**函数的图象与性质。
小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了**。
下面是小东的**过程，请补充完成：
1)函数的自变量的取值范围是 ；
2)下表是与的几组对应值。
求的值；3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
4)进一步**发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是。结合函数的图象，写出该函数的其他性质(一条即可。
27.(本小题满7分)
在平面直角坐标系中，过点且平行于轴的直线，与直线交于点，点关于直线的对称点为，抛物线经过点。
1)求点的坐标；
2)求抛物线的表达式及顶点坐标；
3)若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求的取值范围。
备用图。28.(本小题满7分)
在正方形中， 是一条对角线。点在射线上(与点不重合),连接，平移，使点移动到点，得到，过点作于，连接，.
1)若点**段上，如图1，依题意补全图1；
判断与的数量关系与位置关系并加以证明；
2)若点**段的延长线上，且，正方形的边长为1,请写出求长的思路。(可以不写出计算结果)
29.(本小题满8分)
在平面直角坐标系中， 的半径为，是与圆不重合的点，点关于的反称点的定义如下：若在射线上存在一点，满足，则称为点关于的反称点，下图为点及其关于的反称点的示意图。
特别地，当点与圆心重合时，规定。
1)当的半径为1时：
分别判断点， ,关于的反称点是否存在？若存在，求其坐标；
点在直线上，若点关于的反称点存在，且点不在轴上，求点的横坐标的取值范围；
2)当的圆心在轴上，半径为1,直线与轴、轴分别交于点。若线段上存在点，使得点关于的反称点在的内部，求圆心的横坐标的取值范围。
2024年北京市中考数学试卷
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