十。五、创新题。
1.（2024年东城二模文8）已知函数，集合，，记分别为集合中的元素个数，那么下列结论不可能的是（ d ）
ab.cd.
2.（2024年海淀二模文8）点是曲线上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点，点是坐标原点。 给出三个命题：
①；的面积为定值；③曲线上存在两点，使得为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（ c ）
abcd.０
3.（2024年海淀二模文14）已知定点，直线（为常数）. 若点到直线的距离相等，则实数的值是 ；对于上任意一点，恒为锐角，则实数的取值范围是。
答案：或；4.（2024年西城二模文8）已知集合，其中，集合，则集合中的元素至多有（ c ）
a．个 b.个c.个d.个。
5.（2024年丰台二模文8）已知平面上四个点，设是四边形及其内部的点构成的集合，点是四边形对角线的交点，若集合，则集合s所表示的平面区域的面积为（ c ）
a.16b.8c.4d.2
6.（2024年西城二模文14）已知曲线的方程是，给出下列。
三个结论： 曲线c与两坐标轴有公共点；
曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形；
若点p，在曲线c上，则的最大值是。
其中，所有正确结论的序号是___
答案：② 7.（2024年丰台二模文14）在平面直角坐标系中，若点，同时满足：
①点，都在函数图象上；②点，关于原点对称，则称点对(,)是函数的一个“姐妹点对”（规定点对(,)与点对(,)是同一个“姐妹点对”）．那么函数的“姐妹点对”的个数为___
答案：1。8.
（2024年昌平二模文14）若对于定义在r上的函数f (x) ,其图象是连续不断的，且存在常数(r)使得 f (x +)f (x) =0对任意实数x都成立，则称f (x) 是一个“—伴随函数”. 有下列关于“—伴随函数”的结论：①f (x) =0 是常数函数中唯一个“—伴随函数”；②f (x) =x2是一个“—伴随函数”；③伴随函数”至少有一个零点。
其中不正确的序号是填上所有不正确的结论序号）．
答案：①②9.（2024年昌平二模文8）设等差数列的前项和为，已知，有下列结论：①；其中正确的结论序号是（ d ）
abcd．②④
10.（2024年西城二模文20）若正整数，则称为的一个“分解积”．（当分别等于时，写出的一个分解积，使其值最大；（ⅱ当正整数的分解积最大时，证明：中的个数不超过；（ⅲ对任意给定的正整数，求出，使得的分解积最大．
解：（ⅰ分解积的最大值为1分。
分解积的最大值为； …2分。
分解积的最大值为3分。
证明：（ⅱ由（ⅰ）可知，中可以有个4分。
当有个或个以上的时，因为，且，所以，此时分解积不是最大的．
因此，中至多有个7分。
解：（ⅲ当中有时，因为，且，所以，此时分解积不是最大，可以将加到其他加数中，使得分解积变大．…8分。
由（ⅱ）可知，中至多有个．
当中有时，若将分解为，由 ① 可知分解积不会最大；
若将分解为，则分解积相同；
若有两个，因为，且，所以将改写为，使得分解积更大．
因此，中至多有个，而且可以写成． …10分。
当中有大于的数时，不妨设，因为，所以将分解为会使得分解积更大． …11分
综上所述，中只能出现或或，且不能超过个，不能超过个．
于是，当时，使得分解积最大； …12分。
当时，使得分解积最大13分。
当时，使得分解积最大．……14分。
11.（2024年朝阳二模文20）已知数列，满足，且当。
）时，.令．（ⅰ写出的所有可能取值；（ⅱ求的最大值。
解：（ⅰ由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：
1）此时；2）此时；
3）此时；4）此时；
5）此时；6）此时。
所以，的所有可能取值为5分。
ⅱ）由，可设，则或（，）所以7分。
因为，所以，且为奇数，是由个1和个构成的数列．所以。
则当的前项取，后项取时最大，此时．…10分。
证明如下：假设的前项中恰有项取，则。
的后项中恰有项取，其中，，，
所以。所以的最大值为13分。
12.（2024年东城二模文20）个正数排成行列， 如下所示：
其中表示第行第列的数。已知每一行中的数依次都成等差数列，每一列中的数依次都成等比数列，且公比均为，，，求和的值；（ⅱ记第行各项之和为（≤≤数列，，满足， （为非零常数），，且，求的取值范围；(ⅲ对（ⅱ）中的，记，设，求数列中最大项的项数。
解：（ⅰ因为， 所以。 又成等差数列，
所以4分。ⅱ）设第一行公差为，由已知得，解得。 所以。
因为 .所以，
所以6分。因为，
所以。整理得。
而 ，所以， 所以是等差数列。 …8分。
故。因为，所以。
所以。所以，所以。
所以的取值范围是 . 10分。
ⅲ)因为是一个正项递减数列，所以当，当。（，
所以中最大项满足即 ……12分。
解得≤.又，且，
所以，即中最大项的项数为14分。
13.（2024年海淀二模文20）将一个正整数表示为的形式，其中，，且，记所有这样的表示法的种数为（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故）.（写出的值，并说明理由；（ⅱ证明：
（）对任意正整数，比较与的大小，并给出证明．
解：（ⅰ因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以．
因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，所以3分。
证明：（ⅱ因为，把的一个表示法中的去掉，就可得到一个的表示法；反之，在的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个的表示法，即的表示法中的表示法种数等于的表示法种数，所以表示的是的表示法中的表示法数。
即8分。ⅲ）结论是。
证明如下：由结论知，只需证
由（ⅱ）知：表示的是的表示法中的表示法数，是的表示法中的表示法数．
考虑到，把一个的的表示法中的加上1，就可变为一个的的表示法，这样就构造了从的的表示法到的的表示法的一个对应，所以有。
14分。
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