2002
注：以下表示维实列向量空间，表示阶实矩阵的全体，表示矩阵的转置，表示矩阵的迹。
一、（20分）设是维欧氏空间中非零向量，，定义变换。
1． 验证是线性变换；
2． 设在的标准正交基下的坐标为，求在该基下的矩阵；
3． 证明为对称变换，即，；
4． 证明：为正交变换的充要条件是。
二、（16分）设，记。
1． 证明：是的子空间；
2． 当时，求；
3． 当。时，求的维数和一组基。
三、（16分）设为维非零列向量，求矩阵。
的特征值和特征向量，其中表示列向量的共轭转置。
四、（14分）设，证明线性方程组。
必有解。五、（12分）设为阶实矩阵，证明。
六、（12分）求证：为幂零阵（即存在正整数，使得）的充要条件是：对任一自然数，有。
七、（10分）设是阶实对称矩阵，，证明：为正定矩阵的充要条件是，对所有正定矩阵，恒有。
2024年。
一、 填空题：（每小题6分，共30分）
1、 设四阶方阵，，其中为4维列向量，若，则。
2、 设六阶方阵的秩等于4，则的伴随矩阵的秩等于。
3、 设三阶方阵的行列式，为的逆矩阵，为的伴随矩阵，则。
4、 设为阶可逆矩阵，如果交换的第行与第行得到，则。
5、 设为阶方阵，若，秩秩，则数必为的特征值。
二、 （本题满分20分）设是数域上的一个次多项式，这里，且设的一阶微商可以整除。证明，这里。
三、 （本题满分20分）解方程组。
其中为互不相同的常数。
四、 （本题满分25分）设是一个数域是中的一个矩阵，令。
证明：（1）是的一个线性子空间；
2）可以找到非负整数，使。
是的一组基；
3）的维数等于的最小多项式的次数。
五、 （本题满分25分）设是实数域上的2维向量空间，是线性变换。
1） 求在基下的矩阵；
2） 证明对于每个实数，线性变化是可逆变换，这里是上的恒等变换；
3） 设在的某一基下的矩阵为。
证明乘积不等于零。
六、 （本题满分20分）设为矩阵。证明：如果，那么。
秩+秩。七、 （本题满分10分）设，若矩阵是正定的，证明也正定。
2024年。
下面的均为阶单位矩阵。
一、 填空。（5分×5=25分）
1、 当___时，向量能由向量，线性表示。
2、 假设阶方阵满足，则的特征值为___
3、 已知阶方阵满足，则___
4、 设是阶方阵，满足（是的转置矩阵），，则___
5、 设阶实对称矩阵的特征值分别为，则当满足___时，为正定矩阵。
二、 计算阶行列式。（15分）
三、 证明方程组有解的充要条件是，在有解的情况下求出它的一切解。（15分）
四、 证明，若方程的两个跟和有关系式，则。（15分）
五、 （20分）
1、 证明：向量是维向量空间的一组基。
2、 求向量在此基下的坐标。
六、 设，证明当时，有，并求（为3阶单位矩阵）。（20分）
七、 设实二次型，证明：的秩等于矩阵的秩。（20分）
八、 设、分别为阶正定矩阵和半正定矩阵，证明，且仅当时取等号。（20分）
2024年。
1．（10分）设是阶矩阵，满足（是阶单位阵），，求：
2．（分）求证：下列齐次线性方程组的可解性：
3．(12分)设和是数域上的多项式，为正整数。证明：如果，则。
4．(15分)设， ,求解：
1)为何值时，线性无关？
2) 选取，将表示成的线性组合。
5．(15分) 设二次型。
问取何值时，该二次型为正定型？
6．（12分）设是非奇异实对称矩阵，是反对称矩阵，且。证明必是非奇异的。
7．（20分）设矩阵的一个特征值为3，1）求2）求矩阵，使为对角矩阵。
8．（12分）设与是阶矩阵，证明与有相同的特征值。
9．（20分）设是数域上的维线性空间的一个线性变换，满足：。证明：
1）的核；2）等于的核与值域的直和：。
10．（25分）设是欧氏空间中的单位向量，定义。证明：
1）是正交变换。这样的正交变换称为镜面反射。
2）是第二类的正交变换。
3）如果在维欧氏空间中，正交变换以1作为一个特征值，且属于1的特征子空间是维的，那么是镜面反射。
2024年。
一、 填空题（每小题5分，共25分）
1、若二次型是正定的，则的取值范围为。
2、设为五阶矩阵，是的伴随矩阵，若秩秩，则秩。
3、设为四阶矩阵，且，为交换的两列得到的矩阵，则的值为。
4、设是向量空间，的线性变换，则在基下的矩阵为。
5、设线性无关，且可以由向量组线性表出，而可以由向量组线性表出，则的取值范围为。
二、 （本题满分15分）求证：整除，这里是正整数。
三、 （本题满分15分）设都是阶矩阵，则证明与有相同的特征多项式。
四、 （本题满分15分）计算级行列式。
五、 （本题满分20分）设为线性变换的特征向量，，这里为恒等变换，且向量组满足证明：向量线性无关。
六、 （本题满分20分）设是欧氏空间的一标准正交向量组，证明：有。
七、 （本题满分20分）设是维向量空间的线性变换，且证明这里表示零变换，表示象空间的维数。
八、 （本题满分20分）设为实矩阵，秩，证明：
1）（15分）是正定矩阵；
2）（5分）方程组只有零解，这里。
2024年。
一、 填空题（每小题5分，共25分）
1．设。2．设，则秩。
3．设是实数域，，试写出中的正交补。
4．设是向量空间上的线性变换，向量，则在基下的坐标为。
5．取何值时，是正定二次型？
二、 （本题满分15分）设为正整数，证明整除的充要条件是整除。
三、 （本题满分15分）设都是阶矩阵，且。
证明： 秩秩。
四、 （本题满分15分）设表示数域上向量空间，是按如下方法定义的线性变换：
这里， 求线性变换的核和像以及。
五、 （本题满分20分）设是非零实方阵，是的伴随矩阵，是的转置矩阵，
1．（10分）证明；
2．（10分）若是的特征值，则。
六、 （本题满分20分）求下列矩阵的特征值和特征向量：
七、 （本题满分20分）设是正定矩阵，是半正定矩阵，证明：
1．（10分）的所有根；
2．（10分）
八、 （本题满分20分）设和都是数域上向量空间，和分别是和的线性变换组成的向量空间，是到的同构映射。
1．（5分） 证明：，有；
2．（15分）证明：，这里表示同构。
2024年。
一、 填空题（5分，共25分）
1、 设=(2,4,23,5,4), 1,4,),可以由，线性表出，则=秩（,,的取值范围是。
2、 是的子空间，则的正交补的维数是。
3、 设是向量空间上的线性变换，： 则线性变换的核（零度）和像（值域）分别为。
4、 取何值时，实矩阵。
与合同？5、设是阶可逆矩阵，是伴随矩阵，则与的关系是。
二、（15分）设是实数，，证明：有重根的充要条件是。
三、（15分）设是一个次数大于零的多项式，且，是阶矩阵且，证明：是可逆矩阵。
四、（15分）证明：任一阶可逆实矩阵均可分解为一正交矩阵和一实上三角矩阵的乘积，即。
五、（20分）设。
1、证明：存在，使得对任一阶实对称矩阵，都正定。
2、设，若正定，试确定的取值范围。
六、（20分）设，是实数，求矩阵的最大特征根。
七、（20分）设是阶实方阵，是的转置矩阵，和是维列向量。证明：方程组一定有解。
八、（20分）设是欧式空间，是上的线性变换，是上的变换，且对任意有。证明：
1、是上的线性变换。
2、的核（零度）等于的像（值域）的正交补。
2024年。
一、 填空题（25分）
1、 的有理根的集合为。
2、 设阶方阵的元素全为1，则的个特征根为 ，的最小多项式为。
3、 数字矩阵的初等因子是则的不变因子是。
4、 设向量组线性无关，则常数满足时向量组线性无关。
5、 给定3维欧式空间的一组基及其度量矩阵，则的长度是。
二、（25分）
1、（10分）证明：在有理数域上存在任意次数的不可约多项式。
2、（15分）设是数域上两个不全为0的多项式，记。证明：中次数最低的首1多项式是。
三、（25分）
1、（10分）计算行列式。
2、（15分）设为一个阶方阵，且对任何，有。
证明的行列式。
四、（25分）
1、（12分）证明：对任何矩阵有。
其中表示的转置，表示b的秩。
2、（13分）设为一个阶方阵，证明：对任何满足的，必存在阶方阵b使得。
五、（20分）已知二次型的秩为2
1）求的值。
2）求正交变换把化为标准形。
3）求方程的解。
六、（30分）设线性空间上的线性变换满足，证明。
1）的特征值只能为0或1
2）核。值域。
3）与都是的不变子空间。
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