中南大学2002-2024年研究生考试数学分析试题。
2024年。
一、求下列极限。
二、（共16分，每小题8分）设函数。
1）证明连续；
2）是否一致连续？（请说明理由）。
三、（共16分，每小题8分）
1）设，求阶全微分；
2）设，，变换以下方程。
四、（共20分，每小题10分）
1）求积分；
2）求曲面，和所围成的体积。
五、（共12分，每小题6分）设。
1）求的条件收敛域；
2）求的绝对收敛域。
六、证明：积分。
是参数的连续函数。
七、（8分）设定义于上的函数存在三阶的导函数，且，
证明：。2024年。
一、（共27分，每小题9分）求下列极限。
3）设在上可积，且，求。
二、（共24分，每小题12分）设函数在上连续，1）证明：若存在，则在上一致连续；
2）上述逆命题是否成立？（请给出证明或举出反例）。
三、（共27分，每小题9分）设。
1）求偏导数和；
2）讨论函数和在原点的连续性；
3）讨论在原点的可微性。
四、（共30分，每小题15分）
1）求在处的幂级数展开式及其收敛半径；
2）计算三重积分，其中是由曲面与平面所围的区域。
五、（12分）计算下列曲面积分。
其中，，积分是沿曲面的外侧。
六、（共15分，每题5分）设。
1） 求关于的收敛性；
2）在上述收敛域中是否一致收敛？
3）讨论的条件收敛性和绝对收敛性。
七、（共8分，每题4分）设，发散，记，证明：（1）发散； （2）收敛。
八、（8分）设定义于的实值函数在右连续，且对任何实数，都满足。
证明为常数）
2024年。
1．证明：若数列收敛，则它有且只有一个极限20分）
2．证明下列结论：
a10分）b）序列收敛20分）
3．设在上连续，且，证明：在上，恒有。（20分）
4．在区间和上，分别讨论级数的一致收敛性。 （20分）
5．考察函数。
在原点处的可微性20分）
6．设是闭区间上的连续函数，且在开区间内没有极值点，则是的严格单调函数20分）
7．设和满足。
及。又设可微，非增，则。
20分）2024年。
一、（共30分，每小题10分）
1）求极限。
2）求极限。
3）设证明其中，二、（共20分，每小题10分）分别讨论函数在下列区间中是否一致连续：
1），这里为随便多大的正数；
2）在区间上。
三、（20分）证明下列拉格朗日定理并叙述其几何意义：
若函数在上连续，在上可导；则在内至少存在一点，使。”
四、（20分）求半径为的球内嵌入有最大体积的圆柱体的体积。
五、（共36分，每小题12分）
1）求积分；
2）求第一类曲面积分其中为体积的边界；
3）分别研究函数项级数在下列区间上的一致收敛性：
a）在上，其中（b）在上。
六、（12分）设是上的非负可积函数序列，且存在。若，有；证明对任何一个上的连续函数都有。
七、（12分）设，都是周期函数，且；证明。
2024年。
一、 判断题：（每题5分，共25分）
1） 若级数收敛，则 （）
2） 收敛的数列一定有界。
3） 开区间内可导的函数一定在闭区间上连续。
4） 若函数在点附近具有二阶连续导数，且，，则在处达到极小值。
5） 若函数在上有定义且是连续的，而且极限存在且有限，则在此区间上一致连续。
二、 求下面数列的极限值：（每小题10分，共30分）
1）其中为常数；
三、 求下列函数的极值：（每小题10分，共20分）
四、 （20分）设收敛，收敛，试证明级数收敛。
五、 （15分）若非负函数在上连续，且则。
六、 （20分）设在上连续，证明。
其中。七、（20分）若函数（1）在区间上有二阶导函数，2）则在区间内至少存在一点使得。
2024年。
一、 判断题：（正确的打√，错误的打×，每题5分，共25分）
1） 任何定义在上的函数都可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和。
2） 设连续且，则。
3） 若序列收敛，则和必有一序列收敛。
4） 若对任意，函数在上连续，则在内连续。
5） 若函数在内连续且有极大值点，则。 （
二、 求下列极限值：（每小题10分，共20分）
2）其中。三、 （20分）求曲线在点处的切线方程和法线方程。
四、 （15分）试证明时。
五、 （20分）试求。
六、 （25分）设为的连续函数，
证明。七、 （25分）设函数在上可导且非常数函数，，试证明，在中至少存在一点，使得。
2024年。
一、判断题（5分，共25分）
1） 若函数在闭区间上一致连续，则在开区间内可导。
2） 设在闭区间上连续，在内每一点存在有限的左导数，且，则至少存在一点使得在处的左导数等于0
3） 若序列和序列都收敛，则序列和序列必收敛。
4） 若函数是在区间上的连续递增函数，则在内可导且。
5） 若序列收敛，则它一定有界。
一、 计算题（10分，共20分）
1）求级数。
2）求积分。
三、（20分）在什么条件下三次抛物线与轴相切？并求出其切点。
四、（15分）设函数在区间内有有界的导函数，证明在内一致连续。
五、（20分）若在区间内可导，且，证明。
六、（25分）设：（i）在闭区间上有二阶连续导数；（ii）在区间内有三阶导函数；（iii）且下面等式成立：及。
证明在内存在一点使得。
七、（25分）设＞0且，定义函数。
证明。i）是内的下凸函数。
ii）在内有根的充要条件是＞0
2024年。
一、 计算题（10分，共60分）
1、 计算极限。
2、 已知，求。
3、 已知条件收敛，计算极限。
4、 求空间曲线在处的法平面方程。
5、 计算曲面被柱面所截下那一部分的面积。
6、 计算，其中是曲面上的部分，并取外侧。
二、（20分）证明在上一致连续，但不一致连续。
三、（15分）已知在处取得极小值。假设在邻域内有连续的二阶偏导数，证明。
四、（20分）求幂级数的收敛域；如果其和函数是，证明：时恒有。
五、（25分）设在内是可微函数，令。
如果，求。六、设，证明函数列在上一致收敛。
2024年。
1. 计算题(每小题10分，共60分)
1. 计算极限
2. 设f(x)具有二阶导数，在x=0的某个去心邻域内f(x)0，且。
求 3. 求曲面上平行于平面的切平面方程，并求切点处的法线方程。
4. 设 当时，求 .
5. 计算曲面积分 ， 其中s为球面 .
6. 计算其中是边长为a的正立方体的表面，并取外侧。
2. 设在上连续，且证明。
20分).3. 设是由所围成的闭区域，求函数在上的最小值和最大值 (20分).
4. 已知二阶可导且，试证对任意给定的三个正数有，并由此证明。
20分) .
五。 1.试给出函数序列在区间x上一致收敛于的定义；(5分)
2.设函数在上可积，且。
证明在上一致收敛于0. (10分)
6. 已知 ，求 (15分)
中南大学年研究生入学考试数学分析试题
中南大学2002 2011年研究生考试数学分析试题。2002年。一 求下列极限。二 共16分，每小题8分 设函数。1 证明连续 2 是否一致连续？请说明理由 三 共16分，每小题8分 1 设，求阶全微分 2 设，变换以下方程。四 共20分，每小题10分 1 求积分 2 求曲面，和所围成的体积。五 共...
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2002年。一 共18分，每小题6分 求下列极限。二 共16分，每小题8分 设函数。1 证明连续 2 是否一致连续？请说明理由 三 共16分，每小题8分 1 设，求阶全微分 2 设，变换以下方程。四 共20分，每小题10分 1 求积分 2 求曲面 和所围成的体积。五 共12分，每小题6分 设。1 求...
中南大学年研究生入学考试高等代数试题
2002 注 以下表示维实列向量空间，表示阶实矩阵的全体，表示矩阵的转置，表示矩阵的迹。一 20分 设是维欧氏空间中非零向量，定义变换。1 验证是线性变换 2 设在的标准正交基下的坐标为，求在该基下的矩阵 3 证明为对称变换，即，4 证明 为正交变换的充要条件是。二 16分 设，记。1 证明 是的子...