2010年高二数学（理）月考试题。
第ⅰ卷。一．选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1.已知（ ）
abcd)
2.用数学归纳法证明等式：则从（ ）
ab） （c）（d）
3.若函数f(x)在区间（a，b）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a，b）内有（ ）
a） （b） （c） （d）无法确定。
4．已知函数y= f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则=(
a） f ′(x0) （b） 2f ′(x0) （c ） 2f ′(x0) （d） 0
5.已知，则=(
a）+cos1 （b）sin1+cos1 （c）sin1-cos1 （d）sin1+cos1
6．已知函数在区间上的最大值为，则的值为（ ）
abc） （d）
7．函数（ ）
a）最大值为189，最小值为-7 （b）最大值为189，无最小值。
c）无最大值，最小值为-7d）既无最大值，又无最小值。
8．已知函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（ ）
a） （b） （c） （d）
9．函数的图象经过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象的顶点在（ ）
a）第一象限 （b）第二象限 （c）第三象限 （d）第四象限。
10．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈n，则f2005(x)＝（
a）sinx （b）－sinx （c）cosx （d）－cosx
11．已知函数(x)=ax3＋bx2＋cx的图象如右图所示，则有( )
a）a>0 ,c<0 （b）a>0,c>0 （c）a<0,c<0 （d）a<0,c>0
12.函数的部分图象大致为 （
第ⅱ卷（答题卷）
一．选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
二．填空题（本大题共14小题，每题5分，共20分）
13. 已知，计算得，，，由此推测：当时，有。
14．在曲线y=x3+3x2+6x－10的切线斜率中斜率最小的切线方程是 .
15.已知函数，的最大值为m，最小值为m,则m-m
16.如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示，给出下列判断：
1) 函数y=f(x)在区间（3，5）内单调递增；
2) 函数y=f(x)在区间（-1/2，3）内单调递减；
3) 函数y=f(x)在区间（-2，2）内单调递增；
4) 当x= -1/2时，函数y=f(x)有极大值；
5) 当x=2时，函数y=f(x)有极大值；
则上述判断中正确的是。
三．解答题（本大题共6小题，共70分）
19．（14分）已知函数，求函数的单调区间；求函数的极值，并画出函数的草图；③当时，求函数的最大值与最小值。
20．已知a为实数，。
求导数；⑵若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值；
若在(－∞2]和[2，+∞上都是递增的，求a的取值范围。
21．（本小题14分）
ⅰ）求函数的单调减区间。
ⅱ）设函数f (x) =ax – a + 1) ln (x + 1)，其中a≥–1，求f (x)的单调区间。
(22)（14分）水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为。
ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期。以表示第i月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？（ⅱ求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.
19解： 由，得，函数单调递增；同理，或函数单调递减。
由得下表：极小值=-16，极大值=16.
由f(-x)=-f(x)，知f(x)是奇函数，得草图如图所示：
20．解：⑴由原式得∴
由得，此时有。
由得或x=-1 , 又。
所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为。
解法一：的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线，由条件得。
即 ∴－2≤a≤2. 所以a的取值范围为[－2,2].
解法二：令即由求根公式得：
所以在和上非负。
由题意可知，当x≤-2或x≥2时，≥0,从而x1≥-2, x2≤2,即解不等式组得－2≤a≤2.
a的取值范围是[－2,2].
21．解：（ⅰ解：y′ =x2 – a + a2) x + a3 = x – a) (x – a2)，令y′＜0得(x – a) (x – a2)＜0.
当a＜0时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a, a2)；
当0＜a＜1时，不等式解集为a2＜x＜a此时函数的单调减区间为(a2, a)；
当a＞1时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a, a2)；
a = 0，a = 1时，y′≥0此时，无减区间。
综上所述：当a＜0或a＞1时的函数的单调减区间为(a, a2)；当0＜a＜1时的函数的单调减区间为(a2, a)；
当a = 0，a = 1时，无减区间。
ⅱ）由已知得函数f (x)的定义域为 (–1, +且(a≥–1).
1）当–1≤a≤0时，f ′ x)＜0，函f (x)在(–1, +上单调递减。
2）当a＞0时，由f ′ x) =0，解得。
f ′ x)、f (x)随x的变化情况如下表：
从上表可知，当x∈时，f ′ x)＜0，函数f (x)在上单调递减。
当x∈时，f ′(x)＞0，函数f (x)在上单调递增。
综上所述，当–1≤a≤0时，函数f (x)在(–1, +上单调递减；
当a＞0时，函数f (x)在上单调递减，函数f (x)在上单调递增。
22.解：（1）①当时，化简得，解得。
②当时，,化简得，解得。综上得，,或。故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月。
（2）由（1）知，的最大值只能在(4,10)内内达到。由，令，解得（舍去）。当变化时，与的变化情况如下表：
由上表，在时取得最大值（亿立方米）。
故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米。
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