第2讲古典概型与几何概型。
知识梳理 ★
1. 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件）称为一个基本事件。
特别提醒：基本事件有如下两个特点：
任何两个基本事件都是互斥的；
任何事件都可以表示成基本事件的和。
2．所有基本事件的全体，叫做样本空间，用ω表示，例如“抛一枚硬币”为一次实验，则ω=。
3.等可能性事件(古典概型)：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是，这种事件叫等可能性事件。
特别提醒：古典概型的两个共同特点：
有限性，即试中有可能出现的基本事件只有有限个，即样本空间ω中的元素个数是有限的；
等可能性，即每个基本事件出现的可能性相等。
4．古典概型的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果都是等可能的，如果事件包含个结果，那么事件的概率。
5．几何概型：如果第个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
特别提醒：几何概型的特点：
试验的结果是无限不可数的；
每个结果出现的可能性相等。
6．几何概型的概率公式： p（a）=
重难点突破 ★
1.重点：理解古典概型，几何概型的概念，
2.难点：掌握古典概型，几何概型的概率公式；
3.重难点：.
1) “非等可能”与“等可能”混同。
问题1: 掷两枚骰子，求事件a为出现的点数之和等于3的概率。
错解：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为，有利于事件a的结果只有3，故。
分析：公式。
仅当所述的试验结果是等可能性时才成立，而取数值2和3不是等可能的，2只有这样情况（1，1）才出，而3有两种情况（1，2），（2，1）可出现，其它的情况可类推。
正确答案掷两枚骰子可能出现的情况：（1，1），（1，2），…1，6），（2，1），（2，2），…2，6），…6，1），（6，2），…6，6），结果总数为6×6=36。
在这些结果中，事件a的含有两种结果（1，2），（2，1）。
2）“可辩认”与“不可辨认”混同。
问题2: 将n个球等可能地放入到n个编号的盒子中去（每个盒子容纳球的个数不限），求事件a=“某指定的n个盒子中恰好各有一球的概率”。
错解：将n个球等可能地放入到n个编号的盒子中，所有可能的结果数为nn，而事件a含有n!种结果。
分析：这种解法不全面，如果球是编号的（即可辨认的），则答案是对的；若球是不可辩认的，则答案完全错了。因为球是不可辩认的，故只考虑盒子中球的个数，不考虑放的是哪几个球。
我们在此用符号“□”表示一个盒子，“○表示球，先将盒子按号码排列起来。
1 2 3 4 5…n
这样的n个盒子由n+1个“|”构成，然后把n个球任意放入n个。
盒子中，比如在这样的放法中，符号“|”和“○”共占有：n+1+n个位置，在这n+1+n个位置中，开始和末了的位置上必须是“|”其余的n+n-1个位置上“|”和“o”可以任意次序排列。则n-1个“1”和n个“○”在中间的n+n-1个位置上的可以区别的所有可能结果数是，将n个不可辨认的球放入指定的n个盒子，使每盒恰有一球的放法只有1种，故事件a含1个结果，从而。
正解：分两种情况：
1）当球是可辩认的，则。
2）当球是不可辨认的，则。
热点考点题型探析★
考点一：古典概型。
题型1. 等可能事件的概率计算。
例1] 某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问：
1)恰好第三次打开房门所的概率是多少？
2)三次内打开的概率是多少？
3)如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？
解题思路]：我们知道最多开5次门，且其中有且仅有一次可以打开门，故每一次可以打开门的概率是相同的都是．
解析： 5把钥匙，逐把试开有种结果，由于该人忘记了开房间的是哪一把，因此这些结果是等可能的。
1)第三次打开房门的结果有种，故第三次打开房门锁的概率p(a)==
2)三次内打开房门的结果有种，因此所求概率p(a)=
3)方法1 因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有种，从而三次内打开的结果有种，从而三次内打开的结果有种，所求概率p(a)=
方法2 三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果种；三次内恰有两次打开的结果种。因此，三次内打开的结果有（）种，所求概率p(a)=
[例2] 有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次。求下列事件的概率。
1）两次抽到的都是**；
2）抽到的恰有一件为次品；
3）第1次抽到**，第2次抽到次品。
解题思路]：请注意题（3）的两种解法，一种是将试验（抽取2件产品）看作是组合（无序的），一种是将试验看作为排列（有序的），值得注意的是两种解法的样本空间不同，事件c不属于样本空间ω，（cω）因此不能用card(ω)进行计算。
解析：记ω=则n=card(ω)c
1）记a=，则m=card(a)=c
2）记b=，则m=card(b)=
3）初看本题与题（2）是相同的，其实不然，题（2）包含于两种可能，“第一次**、第二次次品”或“第一次次品，第二次**”，而目前求的是其中之一“第一次**，第二次次品”的概率。
法一）由于事件b中包含“第一次**，第2次次品”和“第一次次品第2次**”两种等可能的情况，∴所求事件的概率。
法二）记ω’=
记c==card(ω’card(c)=
名师指引】样本空间的选取会影响到解答的过程。因此解等可能概型时，建议遵循以下步骤①判断该问题是等可能概型②确定样本空间（即试验的方法，试验的结果将影响样本空间）；③用排列组合问题的解法确定card(ω)与card(a)，则。
新题导练】1．（改编题）一个口袋里装有2只白球，3只黑球，从中摸出2个球。
1）共有多少种结果？
2）摸出2个黑球有多少种结果？
3）求摸出2个黑球的概率？
4）求摸出一只黑球一只白球的概率？
5）求摸出至少一只黑球的概率？
解（1）共有n=种结果（card(ω)10）
（2）都摸出黑球种结果。
（3）记a=，（4）记b=，（5）记c=
则=，2．某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成。
1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？
2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？
解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为，随意按下6个数字相当于随意按下个，随意按下6个数字相当于随意按下个密码之一，其概率是。
2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为。
考点二： 几何概型。
题型1: 几何概型的概率
例3] （广东省北江中学2019届高三月考）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=27的内部的概率___
解题思路]：用几何概型求解，转化为圆内找出圆内满足条件的整点个数。
解析：基本事件总数为36，点（x，y），在圆x2+y2=27的内部记为事件d，则d包含17个事件，所以p（d）=。
[例4] 两人相约6时到7时在某地见面，先到者等候另一人10分钟，如果另一人还没到，这时方可离去，试求这两人能会面的概率？
解题思路]：此题涉及了两个变量，应设未知数，根据条件列出不等式，转化为坐标平面内的平面区域，用几何概型求解。渗透了转化，数形结合等重要的数学思想方法。
解析：设、分别表示两人到达的时刻。
则即其平面区域为。
设“两人能见面”为事件a，则。
名师指引】用几何概型解题，主要运用转化，数形结合等重要的数学思想方法。
新题导练】3．（广州市海珠区2019届高三上学期综合测试二(数学理)）在区域内随机撒一把黄豆，落在区域内的概率是。
答案：，作图。
4．（改编2018海南、宁夏文20）一元二次方程，其中，，求此方程有实根的概率。
解析：试验的全部结果所构成的区域为。
构成事件的区域为，故所求的概率为。
抢分频道 ★
基础巩固训练。
1. （广东省佛山市2018年高三教学质量检测一）如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ）
abcd．答案：b 提示：利用几何概型公式。
2. (广东省三水中学高三月考)在长为12cm的线段ab上任取一点m，并且以线段am为边的正方形，则这正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（ ）
abcd．答案：a 提示：考查几何概型。
3．在平面区域中任取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件a，则事件a发生的概率为。在边长为2的正方形abcd内任取一点，使得的概率为。
4．（江苏省滨海县08届高三第三次联考数学试卷）下图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影。
部分的面积为。
.解：解利用几何概型。
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时量 60分钟满分 80分班级 姓名计分 1.设集合 a b.c.d.2.复数 ab.cd.3.已知，且是第四象限的角，则 abcd.4.同时满足两个条件 定义域内是减函数 定义域内是奇函数的函数是 a b.c.d.5.如图，线段与互相平分，则可以表示为 a b.c.d.6.若直线始终平分圆的周长，...