第6讲数列的综合问题。
知识梳理 ★
1.等差数列的补充性质。
⑴若有最大值，可由不等式组来确定；
⑵若有最小值，可由不等式组来确定。
2.若干个数成等差、等比数列的设法。
⑴三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：.
三个数成等比的设法：；四个数成等比的设法：.
3.用函数的观点理解等差、等比数列。
等差数列中，当时，是递增数列，是的一次函数；
当时，是常数列，是的常数函数；
当时，是递减数列，是的一次函数。
等比数列中，当或时，是递增数列；
当或时，是递减数列；
当时，是一个常数列；当时，是一个摆动数列。
4.解答数列综合问题的注意事项。
认真审题、展开联想、沟通联系；
将实际应用问题转化为数学问题；
将数列与其它知识（如函数、方程、不等式、解几、三角等）联系起来。
重难点突破 ★
1.重点：掌握常见数列应用问题的解法；掌握数列与其它知识的综合应用。
2.难点：如何将实际应用问题转化为数学问题，综合运用所学知识解决数列问题。
热点考点题型探析★
考点数列的综合应用。
题型1 等差、等比数列的综合应用。
例1】已知等差数列与等比数列中，，求的通项。
解题思路】由等比数列知：成等比，从而找出的关系。
解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，是等比数列，成等比，则。
解得或。当时， ，
当时，，，名师指引】综合运用等差、等比数列的有关公式和性质是解决等差、等比数列综合问题的关键。
例2】已知为数列的前项和，，.
设数列中，，求证：是等比数列；
设数列中，，求证：是等差数列；
求数列的通项公式及前项和。
解题思路】由于和中的项与中的项有关，且，可利用、的关系作为切入点。
解析】⑴，两式相减，得。
又，，由，，得
是等比数列，.
由⑴知，，且。
是等差数列，.
⑶，且，当时，名师指引】⑴等差、等比数列的证明方法主要有定义法、中项法；⑵将“”化归为。
是解题的关键。
题型2 数列与函数、方程、不等式的综合应用
例3】（2008韶关模拟）设函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，有．
求，判断并证明函数的单调性；
数列满足，且。
求通项公式；
当时，不等式对不小于的正整。
数恒成立，求的取值范围。
解题思路】从已知得到递推关系式，再由等差数列的定义入手；恒成立问题转化为左边的最小值。
解析】⑴，在上减函数（解法略）
① 由单调性。
故等差数列
是递增数列。
当时， 即。
而，∴，故的取值范围是。
名师指引】数列与函数、方程、不等式的综合问题，要注意将其分解为数学分支中的问题来解决。
题型3 数列的应用问题。
例4】在一直线上共插有13面小旗，相邻两面之距离为，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？
解题思路】本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和。
解析】设将旗集中到第面小旗处，则从第一面旗到第面旗处，共走路程为，然后回到第二面处再到第面处是，从第面处到第面处路程为20，从第面处到第面取旗再到第面处，路程为，总的路程：
由于，当时，有最小值。
答： 将旗集中以第7面小旗处，所走路程最短。
名师指引】本例题是等差数列应用问题。 应用等差数列前项和的公式，求和后，利用二次函数求最短距离时，要特别注意自变量的取值范围。
例5】用砖砌墙，第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，…
依次类推，每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块，到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块？
解题思路】建立上层到底层砖块数与的关系式是关键，应分清它是等差，还是数列等比数列。
解析】设从上层到底层砖块数分别为，则，易得，即。
因此，每层砖块数构成首项为2,公比为2的等比数列，则 (块)
答：共用2046块。
名师指引】建立与的关系式后，转化为求数列通项的问题。
例6】2002年底某县的绿化面积占全县总面积的％，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的。
8％绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2％被非绿化。
设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为，经过年后绿化的面积为，试用表示。
求数列的第项；
至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%(参考数据：)
解题思路】当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积。
解析】⑴设现有非绿化面积为，经过年后非绿化面积为。
于是。依题意，是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积减去被非绿化部分后剩余的面积，另一部分是新绿化的面积，于是。
数列是公比为，首项的等比数列。
答：至少需要7年的努力，才能使绿化率超过60％.
名师指引】解答数列应用性问题，关键是如何建立数学模型，将它转化为数学问题。
新题导练】1.四个实数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求原来的四个数。
解析】设后三个数分别为，则。
前三个数成等比数列，第一个数为，解得，当时，；当时，.
原来的四个数分别为或。
2.已知为数列的前项和，点在直线上．
若数列成等比，求常数的值； ⑵求数列的通项公式；⑶数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；
若不存在，请说明理由．
解析】⑴由题意知，，得，，由⑴知：
设存在，使成等差数列。
即 ，，因为，为偶数，为奇数，这与（※）式产生矛盾．
所以这样的三项不存在．
3.(2009金山中学)数列首项，前项和与之间满足。
（1）求证：数列是等差数列 （2）求数列的通项公式。
（3）设存在正数，使对于一切都成立，求的最大值。
解析】（1）因为时，得
由题意 又是以为首项，为公差的等差数列。
2）由（1）有
时，. 又
3）设。则。
在上递增故使恒成立只需
又又 ，所以，的最大值是。
4.夏季高山上的温度从脚起，每升高，降低℃，已知山顶处的温度是℃，山脚处的温度为℃，问此山相对于山脚处的高度是多少米。
解析】每升高米温度降低℃，∴该处温度的变化是一个等差数列问题。
山底温度为首项，山顶温度为末项，所以，解之可得，此山的高度为。
5.由原点向三次曲线引切线，切于不同于点的点。
再由引此曲线的切线，切于不同于的点，如此继续地作下去，……得到点列，试回答下列问题： ⑴求； (2)求与的关系式；
3)若，求证：当为正偶数时， ；当为正奇数时， .
解析】⑴由 ① 得y′=3x2－6ax＋b.
过曲线①上点的切线的方程是：
由它过原点，有。
过曲线①上点的切线ln+1的方程是：
由过曲线①上点，有，以除上式，得。
以除之，得
3)方法1 由(2)得。
故数列是以x 1－a=为首项，公比为－的等比数列，，∴当为正偶数时，
当为正奇数时。
方法2 以下同解法1.
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基础巩固训练。
1.首项为的数列既是等差数列，又是等比数列，则这个的前项和为（ ）
abcd.解析】d.由题意，得数列是非零常数列，2.等差数列及等比数列中，则当时有。
abcd.
解析】d.特殊法，及为非零常数列时，；取，时，3. 已知成等比数列，是的等差中项，是的等差中项，则 .
解析】2. 特殊法，取，4.⑴为等差数列的前项和，，，问数列的前几项和最大？
公差不为零的等差数列中，，成等比数列，求数列的前项和。
【解析】⑴方法1：设，由，得，即 ，当时，有最大值为。
方法2：由，得，是等差数列，由，是等差数列，当时，有最大值为。
设，，成等比数列，5.已知，数列的前项和，若数列的每一项总小于它后面的项，求的取值范围。
解析】当时，当时，由题意，得，即
当时，，，当时，综上，的取值范围。
6.等差数列中，，其公差；数列是等比数列，，其公比。
若，试比较与的大小，说明理由；
若，试比较与的大小，说明理由。
解析】方法1：的图象大致如下图所示：
由图⑴可知，； 由图⑵可知，.
方法2：（用作差比较法，略）.
综合拔高训练。
7.某养渔场，据统计测量，第一年鱼的重量增长率为200﹪，以后每年的增长率为前一年的一半。
饲养5年后，鱼重量预计是原来的多少倍？
如因死亡等原因，每年约损失预计重量的10﹪，那么，经过几年后，鱼的总质量开始下降？
解析】⑴设鱼原来的产量为，200﹪
⑵由⑴可知，，而鱼每年都损失预计产量的10﹪，即实际产量只有原来的。
设底年鱼的总量开始减少，则。
即。解得，经过5年后，鱼的总量开始减少。
8.数列的前项和为，点在直线．
若数列成等比数列，求常数的值；
求数列的通项公式；
数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；
若不存在，请说明理由．
解析】⑴由题意知，
得，由⑴知：
设存在s，p，r,即
因为s、p、r为偶数。
1+2，（＊式产生矛盾．所以这样的三项不存在．
9.(2001全国)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。
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