2013寒假练习数学（二）
1． 单项选择。
1. 若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为（ ）
a.1b.－1
cd.以上都不对。
答案：c简解：的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率。显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k（x－2）代入椭圆方程（4+k2）x2－4k2x+4k2－4=0.
令δ=0，k=±.kmin=－.
2. 已知f1（－3，0）、f2（3，0）是椭圆+＝1的两个焦点，p是椭圆上的点，当∠f1pf2＝时，△f1pf2的面积最大，则有（ ）
答案：a简解：由条件求出椭圆方程即得m=12，n=3.
3. 设，则双曲线的离心率的取值范围是 （
abcd．答案 b
4. 已知点p是抛物线上的一个动点，则点p到点（0，2）的距。
离与p到该抛物线准线的距离之和的最小值为。
abcd．答案 a
5. 已知点p是椭圆c：上的动点，f1、f2分别是左右焦点，o为坐标原点，则的取值范围是（ ）
a.[0bcd.[0,]
令p(x,y),则|pf1|=a+ex,|pf2|=a-ex,|op|=√x^2+y^2)=√4+x^2/2)
所以：||pf1|-|pf2||=a+ex)-(a-ex)|=2e|x|=√2*|x|
所以：||pf1|-|pf2||/op|=√2*|x|/√4+x^2/2)=2|x|/√8+x^2)
当x=0时，比值为0，当x≠0时，原式=2|x|/√8+x^2)=2/√(8/x^2+1)≤√2。
以x^2为自变量，则函数为减函数，所以当x^2=8时取最小值）（x^2的取值范围是[0,8])
答案 d6. 设p(x,y)是曲线c:+=1上的点，f1(-4,0),f2(4,0),则|pf1|+|pf2|(
a.小于10b.大于10c.不大于10d.不小于10
答案 c7. 已知以f1（2,0），f2（2,0）为焦点的椭圆与直线。
有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为。
abcd）解：设椭圆方程为消x得：
即：又联立解得。
由焦点在x轴上，故长轴长为选c。
椭圆上有n个不同的点p1，p2，p3，…，pn，椭已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则。
abcd）答案】c
命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
解析】解：由题意可知，，设，则，故，，利用余弦定理可得。
9. 椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别。
为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
解：椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，，，则，该椭圆离心率e≥，取值范围是，选d。
准线方程。编辑本段]准线的定义。
对于椭圆方程（以焦点在x轴为例） x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0 a为半长轴 b为半短轴 c为焦距的一半)
准线方程 x=a^2/c x=-a^2/c
对于双曲线方程（以焦点在x轴为例） x^2/a^2-y^2/b^2=1 (a,b>0)
准线方程 x=a^2/c x=-a^2/c
抛物线（以开口向右为例） y^2=2px（p>0）
准线方程 x=-p/2
编辑本段]准线的性质。
圆锥曲线上任意一点到一焦点的距离与其对应的准线的距离比为离心率。（同在y轴一侧的焦点与准线对应）
10. 设双曲线的离心率为，且它的一条。
准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
解：∵抛物线的准线为，故有---
又∵双曲线的离心率为，故有。
②得到，进而求出，
双曲线的方程为故选d.
二． 解答题。
在直角坐标平面上，o为原点，m为动点，. 过点m作mm1⊥y轴于m1，过n作nn1⊥x轴于点n1，. 记点t的轨迹为曲线c，点a（5，0）、b（1，0），过点a作直线l交曲线c于两个不同的点p、q（点q在a与p之间）.
（1）求曲线c的方程；
（2）证明不存在直线l，使得|bp|=|bq|；
（3）过点p作y轴的平行线与曲线c的另一交点为s，若，证明。
答案。（1）设点t的坐标为，点m的坐标为，则m1的坐标为（0，），于是点n的坐标为，n1的坐标。
为，所以。由。
由此得。由。
即所求的方程表示的曲线c是椭圆3分。
（2）点a（5，0）在曲线c即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆c
无交点，所以直线l斜率存在，并设为k. 直线l的方程为。
由方程组。依题意。
当时，设交点pq的中点为，则。
又。而不可能成立，所以不存在直线l，使得|bp|=|bq|.…7分。
（3）由题意有，则有方程组。
由（1）得 （5）
将（2），（5）代入（3）有。
整理并将（4）代入得，易知。
因为b（1，0），s，故，所以。
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