1 选择题（本题共32分，每小题4分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．的相反数是（ ）
abcd．
2．高速公路假期免费政策带动了京郊旅游饿增长，据悉，年春节天假期，北京市乡村民俗旅游接待游客约人次，比去年同期增长，将用科学计算法表示应为（ ）
a． bcd．
2 把多项式分解因式，正确的结果是（ ）
a． b． cd．
4．在九张质地都相同的卡片上分别写有数字，，，在看不到数字的情况下，从中任意抽取一张卡片，则抽到的数字是奇数的概率是（ ）
abcd．
5．如图，中，，点在边上，，若，则的度数是（ ）
abcd．
6．期中考试后，班里有两位同学议论他们小组的数学成绩，小辉说：“我们组考分的人数最多”，小聪说：“我们组的位同学成绩排在最中间的恰好也是分”，上面两位同学的话能反映出的统计量是（ ）
a．众数和平均数 b．平均数和中位数
c．众数和方差 d．众数和中位数。
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在轴上，则的值是（ ）
abcd．
8．正方形网格中的图形（1）-（4）如图所示，其中图（1）、图（2）中的阴影三角形都是一个角是的直角三角形，图（3）、图（4）中的阴影三角形都是有一个角是的锐角三角形．
以上图形中能围成正三棱柱的图形是（ ）
a．（1）和（2） b．（3）和（4） c．（1）和（4） d．（2）、（3）、（4）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．请写出一个经过第。
一、二、三象限，并且与轴交于点的直线表达式。
10．如图，某零件的外径为，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等，）测量零件的内孔直径，若，且量得，则零件的厚度。
11．将一张半径的圆形纸片（如图①）连续对折两次后展开得折痕、，且，垂足为（如图②），之后将纸片如图③翻折，使点与点重合，折痕与相交于点，连接、（如图④），则的面积是。
12．如图，在反比例函数的图像上有点，，，这些点的横坐标分别是，，，时，点的坐标是过作轴的垂线，垂足为，再过点作于点，以点、、为顶点的的面积记为，按照以上的方法继续作图，可以得到，，，其面积分别记为，，，则。
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：．
14．解不等式组：．
15．已知，求代数式的值．
16．如图，四边形是正方形，、分别垂直于过顶点的直线，垂足分别为、，求证：．
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，，直线经过、两点．
1）求直线的表达式；
2）将直线平移，当它与矩形没有公共点时，直接写出的取值范围．
18．列方程或方程组解应用题：
从地到地有两条行车路线．
路线一：全程千米，但路况不太好；
路线二：全程千米，但路况比较好，一般情况下走路线二的平均车速是走路线一的平均速度的倍，走路线二所用的时间比走路线一所用的时间少分钟．
那么走路线二的平均车速是每小时多少千米？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，中，，点在上，且，的平分线交于点，是的中点，连接．
1）求证：；
2）若，，，求四边形的面积．
20．据报道，历经一年半的调查研究，北京市污染源解析已经通过专家论证．各种调查显示，机动车成为的最大**，一辆车一天行驶千米，那么这辆车每天至少就要向大气里排放千克污染物．以下是相关的统计图，表：
1）请根据所给信息补全扇形统计图；
2）请你根据“年北京市全年空气质量等级天数统计表”计算该年重度污染和严重污染出现的频率共是多少？（精确到）
3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了本社区的辆私人轿车，了解到其中每天出行超过千米的有辆．已知北京市年机动车保有量已突破万辆，请你通过计算，估计年北京市一天**行超过千米的私人轿车至少要向大气里排放多少千克污染物？
21．如图，、为的切线，切点分别为、，直径的延长线与的延长线交于点，、交于点，连接．
1）求证：；
2）若，，求的半径及的值．
22．以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：、
五个边长为的小正方形如图①放置，用两条线段把他们分割成三部分（如图②），移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形（如图③）．
小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等，若设新正方形的边长为，可得，．由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长．
参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：
五个边长为的小正方形如图④放置，用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形且所得矩形的邻边之比为．
具体要求如下：
1）设拼接后的矩形的长为，宽为，则的长度为___
2）在图④中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）；
3）在图⑤中，画出拼接后符合题意的矩形（只要画出一种即可）．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知关于的一元二次方程．
3 如果该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
4 在（1）的条件下，关于的二次函数的图像与轴交点的横坐标都是整数，且时，求的整数值．
24．在中，，在中，，点、分别在、上，5 如图①，若，则与的数量关系是。
6 若，将绕点旋转至如图②所示的位置，则与的数量关系是。
7 若，将绕点旋转至如图③所示的位置，**线段与的数量关系，并加以证明（用含的式子表示）．
25．在平面直角坐标系中，点、点，是线段的中点．
8 是直线上的一个动点，当的值最小时，9 画出符合要求的点p（保留作图痕迹）；
求出点的坐标及的最小值；
2）当经过点、的抛物线与直线只有一个公共点时，求的值并指出公共点所在的象限．
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：原式。
14．解：
解得，解得，原不等式组的解集为．
15．原式。
原式．故原代数式的值为．
16．证明：∵四边形是正方形，，．
在和中，．17．解：（1）依题可知，，，
将，代入，解得：．
直线的解析式是．
直线平移经过、，；
或．18．解：路线一的平均车速是每小时千米，路线二的平均车速是每小时千米．
分钟小时，依题可知：，解得，．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
千米）．答：线路二的平均车速为每小时千米．
19．证明：（1）∵，
2）过点作于．，为等边三角形．
在中，，．四边形的面积是．
3）（千克）
21．证明：（1）∵、为⊙的切线，，
在和中，．，
10 连结．，
在中，．是⊙的直径，，．
22．解：（1），，
23．解：（1）依题可知：
方程有两个不相等的实数根时，的取值范围为且．
．，都是整数，且。或．
过点作交于．，．又∵，．
25．（1）①画图；
点关于直线的对称点为，设直线的解析式为，解得，．
直线的解析式为．
当时，，．的最小值为，，．
2）设抛物线的解析式是．
抛物线与直线只有一个公共点时，当时，交点坐标为第二象限；
当时，交点坐标为第三象限．
2024年北京朝阳一模数学试卷部分解析。
一、选择题。
11 【答案】a
解析】的相反数是，故选a．
12 【答案】c
解析】用科学记数法表示为，故选c．
13 【答案】a
解析】因式分解：，故选a．
14 【答案】d
解析】一共个数字，其中有个奇数，任意抽取一张，抽到的数字是奇数的概率是，故选d．
15 【答案】b
解析故选b．
16 【答案】d
解析】人数最多的是众数，排在最中间的是中位数，故选d．
17 【答案】b
解析】抛物线的顶点在轴上，，，又因为对称轴在轴左侧，，故，故选b．
18 【答案】c
解析】依图可知，围成的正三棱柱，上下两个底面是等边三角形，图（）和图（）不能拼接成，故选c．
二、填空题。
19 【答案】答案不唯一，
解析】经过。
一、二、三象限，，经过，．
故答案为：答案不唯一，．
20 【答案】
解析】依题可知，，，
故答案为：．
21 【答案】
解析】依题意可知，为等边三角形，，．
故答案为：．
22 【答案】；
解析】在反比例函数上，其横坐标为，纵坐标为．，
故答案为：；．
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