1、 (本题5分)取的6位有效数字，问以下这种算法有几位有效数字。解：令。
则。2分）由于。故。
另一方面。故在这里，由有3分）
即算式至少有4位有效数字。
2、 （本题6分）用列主元gauss消去法解线性方程组。解：4分）
故等价方程组为：
1分）同代得。
1分）3、 （本题6分）已知，求，，.
解1分）1分）即。3分）
解得，， 1分）
4、 （本题7分）给定线性方程组。
1) 试分别写出jacobi迭代格式和gauss-seidel迭代格式；
2) 分析gauss-seidel迭代格式的收敛性。
解：(1) jacobi迭代格式为：
2 分）gauss-seidel迭代格式：
2分）2)gauss-seidel迭代格式的迭代矩阵g的特征方程为。解得。则。
故gauss-seidel迭代格式发散3分）
5、 （本题8分）用下列方法求在附近的根，根的准确值…，要求计算结果准确到四位有效数字。
1) 用牛顿法；
2) 用弦截法，取，
解：(1)
牛顿法的迭代公式为。计算得。
故 （4分）
2)弦截法的迭代公式为。
计算得。故 （4分）
6、 （本题8分）给定数据如下。
1) 写出的3次lagrange插值多项式。
2) 写出的3次newton插值多项式。
解：(1)由题设条件有。
由于次lagrange插值多项式的基函数为。
故三次lagrange插值多项式的基函数为。
3分）故所求三次lagrange插值多项式。
（1分）(2)由题中所给数据，构造下列差商表。
（3分）由于。
故所求三次newton插值多项式。
1分）7、 （本题8分）设，且互不相同，证明。
并写出的次newton插值多项式。
证：用数学归纳法来证明。
当时。即当时公式成立2分）
假设当时等式成立。
即。那么当时。
即公式对亦成立。
有归纳法原则知原等式对任意均成立4分）
我们以为插值节点来求次newton插值多项式。
因为。故所求插值多项式为。
其中。4分）
8、（本题5分）求满足条件。
的艾尔米特差值多项式。
解：令，，代入艾尔米特差值多项式。
2分）这里，，得。
3分） 9、 （本题6分）求函数在[0，1]上的一次最佳平方逼近多项式。
解：设，，，所求函数为。则。3分）
由正规方程组。
1分）解得。
2分）10、（本题9分）运用梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分别计算积分，并估计各种方法的误差（要求小数点后至少保留5位）.
解：运用梯形公式：
2分）其误差。
1分）运用辛普森公式：
2分）其误差。
1分）运用柯特斯公式：
2分）其误差。
1分）11、（本题6分）已知的函数值如下：
用复合梯形公式和复合辛普森公式求的近似值。
解：用复合梯形公式，小区间数，步长。则。3分）
复合辛普森公式，小区间数，步长。则。3分）
12、（本题8分）用高斯-勒让德公式计算积分。
解：由于高斯求积公式为。
其中是的零点。
首先将积分区间转化为。
令则时1分）而。2分）
令。时。2分）时。
（2分）1分）
13、（本题6分）用改进欧拉法求解，，取两位小数。
解改进欧拉法格式为2分）
其中代入上式得：
（4分）14、（本题6分）写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式：
,解：令
3分）3分）
15、（本题6分）给定矩阵试用幂法求出的按模最大的特征值，精确至5位有效数字。
解：取，代入幂法计算公式：
2分）其中表示中（首次出现的）绝对值最大的分量。
具体计算结果如下：
故的主特征值4分）
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