1. 已知都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分）
解： 由已知可知，n=6
2分。2分。
2. 已知求（6分）解：1分。
1分。1分。
2分。1分。
3. 设 （6分）
1 写出f(x)=0解的newton迭代格式。
2 当a为何值时， （k=0,1……）产生的序列收敛于。
解：newton迭代格式为： 3分。
3分。4. 给定线性方程组ax=b，其中： ，用迭代公式（k=0,1……）求解ax=b，问取什么实数，可使迭代收敛 （8分）
解：所给迭代公式的迭代矩阵为2分。
其特征方程为2分。
即，解得2分。
要使其满足题意，须使，当且仅当2分。
5. 设方程ax=b，其中 ，试讨论解此方程的jacobi迭代法的收敛性，并建立gauss-seidel迭代格式 （9分）解：3分。
2分。即，由此可知jacobi迭代收敛1分。
gauss-seidel迭代格式：
（k=0,1,2,33分。
6. 用doolittle分解计算下列3个线性代数方程组：（i=1,2,3）其中， （12分）解：
alu3分。
由ly=b1，即 y= 得y1分。
由ux1=y，即 x1= 得x12分。
x2=由ly=b2=x1，即 y= 得y1分。
由ux2=y，即 x2= 得x22分。
x3=由ly=b3=x2，即 y= 得y1分。
由ux3=y，即 x3= 得x32分。
7. 已知函数y=f(x)有关数据如下：
要求一次数不超过3的h插值多项式，使 （6分）
解：作重点的差分表，如下：
3分。1+(x+1)-x(x+1)+
= 3分。8. 有如下函数表：
试计算此列表函数的差分表，并利用newton前插公式给出它的插值多项式 （7分）
解：由已知条件可作差分表，3分。
（i=0,1,2,3）为等距插值节点，则newton向前插值公式为：
4+5x+x(x-1)
4分。9. 求f(x)=x在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求出平方误差 （8分）
解：令2分。
取m=1, n=x, k=,计算得：
(m,m)= 0 (m,n)= 1 (m,k)= 0
(n,k)= 0.5 (k,k)= 0 (m,y)= 1
(n,y)= 0 (k,y)= 0.5
得方程组3分。
解之得（c为任意实数，且不为零）
即二次最佳平方逼近多项式1分。
平方误差2分。
10. 已知如下数据：用复合梯形公式，复合simpson公式计算的近似值（保留小数点后三位） （8分）
解：用复合梯形公式：
=3.139 4分。
用复合simpson公式：
=3.142 4分。
11. 计算积分，若用复合simpson公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分？若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分？ （10分）
解： ①由simpson公式余项及得。
2分。即，取n=62分。
即区间分为12等分可使误差不超过1分。
对梯形公式同样，由余项公式得。
2分。即2分。
即区间分为510等分可使误差不超过1分。
12. 用改进euler格式求解初值问题：要求取步长h为0.
1，计算y（1.1）的近似值 （保留小数点后三位）[提示：sin1=0.
84,sin1.1=0.89] （6分）
解：改进euler格式为：
2分。于是有。
（n=0,1,2……）2分。
由y(1)= 1，计算得。
2分。即y(1.1)的近似值为0.838
13. （4分）
证明：4分。
14. 证明：设，为任意矩阵范数，则 （6分）
证明：设为a的按模最大特征值，x为相对应的特征向量，则有ax=x1分。
且，若是实数，则x也是实数，得1分。
而2分。由于1分。
故 1分。当是复数时，一般来说x也是复数，上述结论依旧成立。
数值分析试卷及其答案
数值分析期末考试。一 设，若要确保其近似数的相对误差限为0.1 则它的近似数至少取几位有效数字？4分 解 设有位有效数字。因为，所以可得的第一位有效数字为8 1分 又因为，令，可知至少具有3位有效数字 3分 二 求矩阵的条件数 4分 其中 解 1分 7 1分 1分 1分 三 用列主元gauss消元法...
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1 本题5分 取的6位有效数字，问以下这种算法有几位有效数字。解 令。则。2分 由于。故。另一方面。故在这里，由有3分 即算式至少有4位有效数字。2 本题6分 用列主元gauss消去法解线性方程组。解 4分 故等价方程组为 1分 同代得。1分 3 本题6分 已知，求，解1分 1分 即。3分 解得，1...