二、(10分)设求证：
2）正向递推时误差传播逐步放大，逆向递推时误差传播逐步衰减。
证：（1）（2）正向递推时， 由来计算：
若已知的一个近似值，则实际计算得到的的近似值为。
将以上两式相减得。
两边取绝对值得。
这说明的误差将放大n倍传到。因而正向递推时误差传播逐步放大。
逆向递推时， 由来计算：
若已知的一个近似值，则实际计算得到的的近似值为。
将以上两式相减得。
两边取绝对值得。
这说明的误差将缩小n倍传到。逆向递推时误差传播逐步衰减。
三、(10分) 给定数据表如下所示，求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。
解：差商表。
由牛顿插值公式：
插值余项为。
四、(10分) 设在上，求在上的最佳平方逼近。
解， ，5分）
法方程为。7分）
解得所求的最佳平方逼近为。
10分）五、(10分)给定求积公式，试确定，使其代数精度尽可能的高，并指明此时求积公式的代数精度。
解：分别将，代入求积公式，可得。
解得求积公式为。
令时求积公式仍然成立，而时公式不成立，从而精度为3.
六、(10分)若用梯形法求的近似解，其中a>0，试证明：
（2）对固定的，当时，收敛于精确解。
证 （1）梯形公式为。
解出，得到。
递推得。2）方程的精确解为注意到于是。
(洛必达)即当时，收敛于精确解。
七、(10分)证明：对于的多重根，牛顿法仅为线性收敛。
证设是的m（m>1）重根，则可设，且。
迭代函数。由于m>1，从而因此这时仅为线性收敛。
八、(10分)对矩阵做lu分解。解 于是。
九、(10分)设线性方程组为，（1）证明用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散。
（2）当同时收敛时试比较其收敛速度。
证所给线性方程组系数矩阵为记。
1）雅可比迭代矩阵j为。
特征方程为。
即 .因而谱半径。
高斯-赛德尔迭代矩阵g为。
特征方程为。
即 .因而谱半径。
当时，雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组都收敛；
当时，雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组都发散。
2) 当时，雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组同时收敛。当时，有所以高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快。
二、(10分)．计算，取，利用下列等式计算，得到的结果由好到差排序。(要误差分析过程，不要直接计算的结果！)
解：注意若，则，设，若，，则。
若通过计算y值，则。
若通过计算y值，则。
若通过计算y值，则。
通过计算后得到的结果最好，，，为其他顺序。
三、(10分)给出的数值表。
用线性插值及二次插值计算的近似值。
解：由**知，若采用线性插值法计算即，则。
若采用二次插值法计算时，四、(10分) 证明函数线性无关。
证明：若。分别取，对上式两端在上作带权的内积，得。
此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异，只有零解a=0。
函数线性无关。
五、(10分)给定求积公式，试确定，使其代数精度尽可能的高，并指明此时求积公式的代数精度，然后估计求积公式的误差。
解：分别将，代入求积公式，可得。
解得求积公式为。
令时求积公式仍然成立，而时公式不成立，从而精度为3.
六、(10分)证明解的下列差分公式。
是二阶的，并求出截断误差的主项。
7、(10分)研究求的牛顿公式。
证明对一切且序列是递减的。
八、(10分)下述矩阵能否分解为lu（其中l为单位下三角阵，u为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一？
解 二、(10分) 取的6位有效数9. 94987，则以下两种算法各有几位有效数字？(要误差分析过程，不要直接计算的结果！)
解：记，则。
由得。因而算式。
至少具有4位有效数字。又由。得。
因而算式。至少具有7位有效数字。
3、(10分)求经过a(0，1)，b(1，2)，c(2，3)三个样点的插值多项式。
解：由lagrange插值公式得。
4、(10分) 设，试在中求在区间[-1，1]上的最佳平方逼近元。
解：设，则在中的最佳平方逼近多项式为。
则有如下正则方程组。即。解得。
故最佳平方逼近多项式为。
5、(10分)给定求积公式，试确定，使其代数精度尽可能的高，并指明此时求积公式的代数精度，然后估计求积公式的误差。
解：分别将，代入求积公式，可得。
解得，求积公式为。
令时求积公式不精确成立，从而精度为2.
由于此求积公式的代数精度为2，故余项表示式为令，得于是。
从而。故得。
六、(10分)证明解的梯形格式。
是二阶的，并求出局部截断误差的主项。
证：局部截断误差为。
所以梯形方法是二阶方法，其局部截断误差的主项为。
7、(10分)应用牛顿法于方程和，分别导出求的迭代公式。
解：8、(10分)用直接三角分解(doolittle分解，lu分解)求解下列线性方程组：解：从而。
先求解ly=b,得。
再求解ux=y，得。
9、(10分)对方程组，若用迭代法。
求解，首先写出迭代格式的迭代矩阵，再讨论在什么范围内取值可使迭代收敛，取什么值可使迭代收敛最快？
解：迭代矩阵，a的特征值为1,4，故b的特征值为。
谱半径。要使迭代收敛，则从而当时收敛，当最小，收敛最快。
硕士生数值分析试卷答案
二 10分 设求证 2 正向递推时误差传播逐步放大，逆向递推时误差传播逐步衰减。证 1 2 正向递推时，由来计算 若已知的一个近似值，则实际计算得到的的近似值为。将以上两式相减得。两边取绝对值得。这说明的误差将放大n倍传到。因而正向递推时误差传播逐步放大。逆向递推时，由来计算 若已知的一个近似值，则...
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