数值分析期末考试。
一、 设，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数至少取几位有效数字？（4分）
解：设有位有效数字。
因为，所以可得的第一位有效数字为8（1分）
又因为，令，可知至少具有3位有效数字（3分）。
二、求矩阵的条件数（4分）。
其中 解： （1分）
=7（1分）
（1分）1分）
三、用列主元gauss消元法法求解以下方程组（6分）
解： 4分)
等价三角方程组为：（1分）
回代得（1分）
四、设。1）求以为节点的3次lagrange多项式；（6分）
2）求以为节点的3次newton多项式；（6分）
3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）
解：由可得。
即得：2）计算差商表如下：
一阶差商二阶差商三阶差商。
则。五、给定方程组，其中。
试确定的取值范围，使求解该方程组的jacobi迭代法与gauss-seidel迭代法均收敛。（10分）
解：1）jacobi迭代格式的特征方程为。
求得。于是当且仅当时，jacobi迭代法收敛（5分）
2）gauss-seidel迭代格式的特征方程为：
求得，于是得。
故当时，求解该方程组的jacobi迭代法与gauss-seidel迭代法均收敛。
六、设， 求上述求积公式的代数精度，并利用求积公式给出计算的一个复化求积公式。（12分）
解：1） 当时，左边==右边。
当时，左边==右边。
当时，左边==右边。
当时，左边==右边。
当时，左边=右边。
因此，所给求积公式具有3次代数精度。（6分）
2）将作等分，记。2分）而。
由此可得复化公式。
(4分)七、求在上的一次最佳平方逼近多项式。（8分）
解：令所要求的多项式为：，即取，计算。
4分)得法方程组：
解方程组得，于是得一次最佳平方逼近多项式为。
4分）八、写出方程的newton迭代格式，并迭代一次求近似解（6分）
(1) 在附近的根。
(2) 在附近的根。
解：（1）取，则 （3分）
则，取，则 （3分）
九、已知三点gauss公式（10分），用该公式估算的值。
解：令，于是有：，于是。
于是（5分）
令，就得：5分）
十、龙格库塔（10分）
取步长，写出用经典四阶runge-kutta方法求解初值问题。
的计算公式。
解： （1分）
6分）取，其经典四阶runge-kutta计算公式为：3分）十。
一、用乘幂法计算矩阵按模最大特征值和相应的特征向量。取，迭代两步即可。（7分）
其中。解： （3分）
相应特征向量取（4分）
十。二、设为个互异的节点，为这组节点上的次lagrange插值基函数，证明：（8分）。
证明：对于，令，则的次lagrange插值多项式为（2分）
相应的余项为（2分）
由于，所以，即（2分）
从而得出。即得证（2分）
数值分析试卷及其答案
1.已知都有6位有效数字，求绝对误差限。4分 解 由已知可知，n 6 2分。2分。2.已知求 6分 解 1分。1分。1分。2分。1分。3.设 6分 1 写出f x 0解的newton迭代格式。2 当a为何值时，k 0,1 产生的序列收敛于。解 newton迭代格式为 3分。3分。4.给定线性方程组a...
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数值分析试卷及其答案
1 本题5分 取的6位有效数字，问以下这种算法有几位有效数字。解 令。则。2分 由于。故。另一方面。故在这里，由有3分 即算式至少有4位有效数字。2 本题6分 用列主元gauss消去法解线性方程组。解 4分 故等价方程组为 1分 同代得。1分 3 本题6分 已知，求，解1分 1分 即。3分 解得，1...