作者：吴雅琴。
**：《中学课程辅导高考版·学生版》2024年第06期。
必做题部分（共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
1.若（1+ai）2=-1+bi（a，b∈r，a>0，i是虚数单位），则a+bi=.
2.若集合m=，已知a2=2a1，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为。
6.设函数f（x）=1-xsinx在x=x0处取得极值，则（1+x20）（1+cos2x0）-1=.
7.如图，在rt△abc中，ac⊥bc，d在边ac上，已知bc=2，cd=1，∠abd=45°，则ad=.
8.设α、β为平面，a、b为直线，给出下列条件，其中能使α∥β成立的条件是。
aα，bβ，a∥β，b
α⊥γa⊥α，b⊥β，a∥b
9.若椭圆x2m+y2n=1（m>0，n>0）与曲线x2+y2=|m-n|无交点，则椭圆的离心率e的取值范围是。
10.已知f（x），g（x）都是定义在r上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）
11.设o为△abc的三个内角平分线的交点，当ab=ac=5，bc=6时，ao=λab+μbc，（λr），则λ+μ
12.以原点为圆心的圆全部在区域x-3y+6≥02x+y-4≤03x+4y+9≥0 内，则圆面积的最大值为。
13.设函数f（x）=x-[x]，x≥0f（x+1），x0）与函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是。
14.已知三次函数f（x）=a3x3+b2x2+cx+d（a
二、解答题：本大题共6小题，15～17每小题14分，18～20每小题16分，共计90分。
15.直棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是直角梯形，∠bad=∠adc=90°，ab=2ad=2cd=2.
1）求证：ac⊥平面bb1c1c；
2）在a1b1上是否存一点p，使得dp与平面bcb1与平面acb1都平行？证明你的结论。
16.在△abc中，a，b，c的对边分别为a，b，c.
1）若a，b，c成等比数列，求f（b）=sinb+3cosb的值域；
2）若a，b，c成等差数列，且a-c=π3，求cosb的值。
17.在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根。现将它们堆放在一起。
1）若堆放成纵断面为正三角形（每一层的根数比上一层根数多1根），并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢？
2）若堆成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层根数多1根），且不少于七层。
ⅰ）共有几种不同的方案？
ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？
18.已知a、b分别是直线y=33x和y=-33x上的两个动点，线段ab的长为23，p是ab的中点。
1）求动点p的轨迹c的方程；
2）过点q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与轨迹c交于m、n两点，与y轴交于点r.若rm=λmq，rn=μnq，证明：λ+为定值。
19.已知函数f（x）=mx3-x的图象上，以n（1，n）为切点的切线的倾斜角为π4.
1）求m，n的值；
2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立；
3）求证：|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+12t）（x∈r，t>0）.
20.已知数列中，a1=1，an+an+1=2n（n∈n*），bn=3an.
1）试证数列是等比数列，并求数列的通项公式。
2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由。
3）试证在数列中，一定存在满足条件1
附加题部分（共40分）
21.[选做题] 本题包括a、b、c、d四小题，请选定其中两题，每小题10分，共20分。若多做，则按作答的前两题评分。
a.选修41：几何证明选讲。
如图所示，已知pa与⊙o相切，a为切点，pbc为割线，，弦cd∥ap，ad、bc相交于e点，f为ce上一点，且de2=ef·ec.
1）求证：∠p=∠edf；
2）求证：ce·eb=ef·ep；
3）若ce∶be=3∶2，de=6，ef=4，求pa的长。
b.选修42：矩阵与变换。
线性变换t把（1，0）变成了（1，-1），并且把圆x2+y2-2y=0变成圆x2+y2-2x-2y=0.
1）试求变换t所表示的矩阵m；
2）求直线x-y=1在t变换下的所得直线的方程。
c.选修44：坐标系与参数方程。
已知圆m：x=1+cosθ，y=sinθ（θ为参数）的圆心f是抛物线e：x=2pt2y=2pt的焦点，过焦点f的直线交抛物线与a、b两点，求af·fb的取值范围。
d.选修45：不等式选讲。
设a、b、c均为实数，求证：12a+12b+12c≥1b+c+1c+a+1a+b.
必做题】 第题，每小题10分，共计20分。
22.抛物线y2=4x的焦点为f，a（x1，y1），b（x2，y2）（x1≥x2，y1>0，y2
1）若|ab|=254.求直线ab的方程；
2）过a、b两点分别作直线l：x=-1的垂线，垂足分别是a′，b′，求四边形aa′b′b面积的最小值。
23.如图，在体积为1的三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1⊥底面abc，ab⊥ac，ac=aa1=1，p为线段ab上的动点。
1）求证：ca1⊥c1p；
2）当ap为何值时，二面角c1pb1a1的大小为π6？
参***。必做题部分。
1.2+22i
15.解：（1）直棱柱abcda1b1c1d1中，bb1⊥平面abcd，∴bb1⊥ac.
又∵∠bad=∠adc=90°，ab=2ad=2cd=2，ac=2，∠cab=45°，∴bc=2，∴bc⊥ac.
又bb1∩bc=b，bb1，bc平面bb1c1c，∴ac⊥平面bb1c1c.
2）存在点p，p为a1b1的中点。
证明：由p为a1b1的中点，有pb1∥ab，且pb1=12ab.
又∵dc∥ab，dc=12ab，∴dc∥pb1，且dc=pb1，dcpb1为平行四边形，从而cb1∥dp.
又cb1面acb1，dp面acb1，∴dp∥面acb1.
同理，dp∥面bcb1.
16.解：（1）∵b2=ac，a2+c2≥2ac，cosb=a2+c2-b22ac≥2ac-ac2ac=12，当且仅当a=c时取等号，∴0
由于f（b）=sinb+3cosb=2sin（b+π3），又b+π3∈（π3，2π3]，∴3≤f（b）≤2，即f（b）的值域为[3，2].
2）∵a+c=2b，∴sina+sinc=2sinb，又。
a-c=π3，a+c=π-b，a=2π3-b2，c=π3-b2，sin（2π3-b2）+sin（π3-b2）=2sinb，展开化简，得3cosb2=2×2sinb2cosb2，cosb2≠0，∴sinb2=34，cosb=1-2sin2b2=1-38=58.
17.解：（1）当纵断面为正三角形时，设共堆放n层，则从上到下每层圆钢根数是以1为首项、1为公差的等差数列，且剩余的圆钢一定小于n根，从而由2009-n（n+1）2
当n=62时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢；
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