一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．已知集合a＝，集合b＝的公差不为零，a1＋a2＋a5＞13，且a1，a2，a5成等比数列，则a1的取值范围为 ．
9．在△abc中，若ab＝1，，则。
10．在△abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，a＝8，b＝10，△abc的面积为20，则△abc的最大角的正切值是___
11．已知三棱锥的底面是边长为3的正三角形，其三条侧棱的长分别为3，4，5，则该三棱锥的体积为。
12．已知函数f(x)＝|x2＋2x－1|，若a＜b＜－1，且f(a)＝f(b)，则ab＋a＋b的取值范围是 ．
13．已知实数分别满足，， 则的值。
为。14．已知a，b，c是平面上任意三点，bc＝a，ca＝b，ab＝c，则y＝＋的最小值。
是。二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知△abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且acos b＝ccos b＋bcos c．
1)求角b的大小；
2)设向量m＝(cos a，cos 2a)，n＝(12，－5)，求当m·n取最大值时，tan c的值．
16．如图，在四棱锥p abcd中，已知ab =1，bc = 2，cd = 4，ab∥cd，bc⊥cd，平面pab平面abcd，pa⊥ab．
1）求证：bd⊥平面pac；
2）已知点f在棱pd上，且pb∥平面fac，求df：fp．
17．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：
万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
1）若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模。
型的基本要求，并分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明。
原因；2）若该公司采用模型函数y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
18．椭圆c:的左、右焦点分别是，离心率为，过f1且垂直于。
x轴的直线被椭圆c截得的线段长为1．
1)求椭圆c的方程；
2)点p是椭圆c上除长轴、短轴端点外的任一点，过点p作直线l，使得l与椭圆c有。
且只有一个公共点，设l与y轴的交点为a，过点p作与l垂直的直线m，设m与y
轴的交点为b，求证：△pab的外接圆经过定点．
19．已知函数f(x)＝ax＋ln x，g(x)＝ex．
1)当a≤0时，求f(x)的单调区间；
2)若不等式g(x)《有解，求实数m的取值范围．
20．已知无穷数列的各项均为正整数，sn为数列的前n项和．
1）若数列是等差数列，且对任意正整数n都有成立，求数列的通项公式；
2）对任意正整数n，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，an一起恰好是1至sn全体正整数组成的集合．
ⅰ)求a1，a2的值；
ⅱ)求数列的通项公式．
参***。一、填空题。
8．(1, ＋910．或－ 1112．(－1,1) 13．2 14．－
二、解答题。
15．(1)由题意， sin acos b＝sin ccos b＋cos csin b，所以sin acos b＝sin(b＋c)＝sin(π－a)＝sin a．
因为0＜a＜π，所以sin a≠0．所以cos b＝．因为0＜b＜π，所以b＝．
2)因为m·n＝12cos a－5cos 2a，所以m·n＝－10cos2a＋12cos a＋5＝－102＋．
所以当cos a＝时，m·n取最大值．此时sin a＝(0＜a＜)，于是tan a＝．
所以tan c＝－tan(a＋b)＝－7．
16．证明（1）∵平面pab平面abcd，平面pab平面abcd = ab， paab，pa平面pab，∴ pa平面abcd．∵bd平面abcd，pabd．连结，∵ab = 1，bc = 2，cd = 4，．
ab∥cd，bc⊥cd，∽．
则ac⊥bd．∵，bd⊥平面pac．
2）∵pb平面fac，pb平面pbd，平面pbd平面fac= fo，∴fo∥pb，∴.
又∵abcd，且，∴df：fp=4:1.
17．(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，按公司对函数模型的基本要求，函数y＝f(x)满足：
当x∈[10,1 000]时，①f(x)在定义域[10,1 000]上是增函数；②f(x)≤9恒成立；③f(x)≤恒成立．
对于函数模型f(x)＝＋2．
当x∈[10,1 000]时，f(x)是增函数，f(x)max＝f(1 000)＝＋2＝＋2＜9，所以f(x)≤9恒成立．
但x＝10时，f(10)＝＋2＞，即f(x)≤不恒成立，故该函数模型不符合公司要求．
2)对于函数模型f(x)＝，即f(x)＝10－，当3a＋20＞0，即a＞－时递增；
要使f(x)≤9对x∈[10,1 000]恒成立，即f(1 000)≤9,3a＋18≥1 000，a≥；
要使f(x)≤对x∈[10,1 000]恒成立，即≤，x2－48x＋15a≥0恒成立，所以a≥．
综上所述，a≥，所以满足条件的最小的正整数a的值为328．
18．(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程，得y＝±．由题意知2＝1，即a＝2b2，又e＝＝，所以a＝2，b＝1． 所以椭圆c的方程为．
(2)设p(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．
联立整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0．
由题意δ＝0，即(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0．又，所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0，故k＝－．
所以直线l方程为，令x=0，解得点a,又直线m方程为，令x=0，解得点b,pab的外接圆方程为以ab为直径的圆方程，即．
整理得：，分别令解得圆过定点．
19．(1)f(x)的定义域是(0，＋∞f′(x)＝a＋(x>0)，1°当a＝0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞上单调递增；
2°当a<0时，由f′(x)＝0，解得x＝－，则当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，综上所述：当a＝0时，f(x)在(0，＋∞上单调递增，当a<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
2)由题意：ex《有解，即ex设h(x)＝x－ex，h′(x)＝1－ex－＝1－ex，因为＋≥2＝>1，且x∈(0，＋∞时ex>1，所以1－ex<0，即h′(x)<0．故h(x)在(0，＋∞上单调递减，∴h(x)20．(1)设无穷等差数列的公差为d，因为对任意正整数n都成立，所以分别取n＝1，n＝2时，则有：
因为数列的各项均为正整数，所以d≥0．
可得a1＝1，d＝0或d＝2．
当a1＝1，d＝0时，an＝1，成立；当a1＝1，d＝2时，sn＝n2，所以．
因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an＝1或an＝2n－1．
2)(ⅰ记an＝，显然a1＝s1＝1．对于s2＝a1＋a2＝1＋a2，有a2＝＝＝故1＋a2＝4，所以a2＝3．
ⅱ)由题意可知，集合按上述规则，共产生sn个正整数．
而集合按上述规则产生的sn＋1个正整数中，除1,2，…，sn这sn个正整数外，还有an+1，an+1＋i，|an+1－i|(i＝1,2，…，sn)，共2sn＋1个数．
所以，sn+1＝sn＋(2sn＋1)＝3sn＋1．
又sn+1＋＝3，所以sn＝·－3n－．
当n≥2时，an＝sn－sn－1＝·3n－－＝而a1＝1也满足an＝．
所以，数列的通项公式是an＝．
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