数学试卷（理科）
一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)
1．设集合，则。
2．已知△abc中，，则。
3．若数列满足：，则前6项的和。
4．设，则在上的投影为。
5．椭圆的焦点为，点p在椭圆上，若，则的大小为。
6．函数的反函数为。
7．三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为，则。
8．执行右边的框图：若输出的值满足，则自然数的值为。
9．已知函数的零点，则。
10．某学生参加一次世博志愿者测试，已知在备选的10道试题中，预计每道题该学生答对的概率为。规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，则该学生仅答对2道题的概率是用数值表示）
11．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线于a、b两点，则。
12．某班从名班干部（其中男生人，女生人）中选人参加学校学生会的干部竞选．设所选人中女生人数为，则随机变量的方差。
13．中，已知，，则的最大值为。
14．已知集合是满足下列两个条件的函数的全体：①在定义域上是单调函数；②在的定义域内存在闭区间，使在上的值域为．若函数，，则实数的取值范围是。
二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）
15．复数等于。
a． bcd.
16．下列函数中，与函数有相同定义域的是。
a . b. c. d.
17．设p是△abc所在平面内的一点，，则。
a. b.
c. d.
18．已知为圆的两条互相垂直的弦，交于点，则四边形面积的最大值为。
a 4b 5c 6d 7
三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）
19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
已知函数，.
1）若，求函数的值；
2）求函数的值域。
20．（本题14分，其中第（1）小题7分，第（2）小题7分）
设在直三棱柱中，，，依次为的中点．
1）求异面直线、所成角的大小（用反三角函数值表示）；
2）求点到平面的距离．
21．（本小题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场。如图，运动场是由一个矩形abcd和分别以ad、bc为直径的两个半圆组成。跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮。
已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元。
1) 设半圆的半径oa= (米),试建立塑胶跑道。
面积s与的函数关系s()
2) 由于条件限制，问当取何值时，运动场。
造价最低？（精确到元）
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
如图，已知椭圆的左右焦点分别为、，椭圆的下顶点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．
1）若圆过原点，求圆的方程；
2）当圆的面积为时，求所在直线的方程；
3）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什。
么位置，该定圆总与圆相切．请写出你的**过程．
23．（满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
对于给定数列，如果存在实常数使得对于任意都成立，我们称数列是 “m类数列”．
1）若，，，数列、是否为“m类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；
2）证明：若数列是“m类数列”，则数列也是“m类数列”；
3）若数列满足，，为常数．求数列前项的和．并判断是否为“m类数列”，说明理由；
2012年向明中学高考模拟考数学试卷（理科）
参***及评分标准。
一． 填空题：
二．选择题： 15．d 16．a 17．c 18．b
三．解答题：
19、（1）（2分）
4分）（6分）
2）（9分），（10分）
函数的值域为12分）
20．解：以a为原点建立如图空间坐标系，则各点坐标为，，，2分。
1），…7分。
2）设平面的一个法向量为，∵，由得令可得………10分。
∴…13分。
点到平面的距离为．……14分。
21解： (1)塑胶跑道面积。
2） 设运动场造价为。
22解：（1）解法一：因为圆过原点，所以，所以是椭圆的端轴顶点，的坐标是或，于是点的坐标为或，……2分）
圆的方程为或．……4分）
解法二：设，因为圆过原点，所以，所以，所以，，点………1分）
于是点的坐标为或，……2分）
圆的方程为或．……4分）
少一个解扣1分）
2）设圆的半径为，由题意，，，所以…（5分）
设，则6分）
联立，解得（舍去7分）
所以点或8分）
所以或9分）
所以直线的方程为或………10分）
注：直线方程也可写成其他形式，如：与等．
少一个解，得4分．
3）以原点为圆心，为半径的定圆始终与圆相内切．
定圆的方程为12分）
**过程为：设圆的半径为，定圆的半径为，因为，所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆相内切16分）
23．[解]（1）因为则有。
故数列是“m类数列”，对应的实常数分别为2分。
因为，则有。
故数列是“m类数列”，对应的实常数分别为4分。
2）证明：若数列是“m类数列”，则存在实常数，使得对于任意都成立，且有对于任意都成立6分。
因此对于任意都成立，故数列也是“m类数列9分。
对应的实常数分别为10分。
3）因为则有，
故数列前项的和。
………14分。
若数列是“m类数列”，则存在实常数。
使得对于任意都成立，且有对于任意都成立，因此对于任意都成立，而，且。
则有对于任意都成立，可以得到，1）当时，，，经检验满足条件。
2）当时，，，经检验满足条件。
因此当且仅当或，时，数列也是“m类数列”。对应的实常数分别为， 或18分。
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