九年级（上）期末数学试卷。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．二次函数y=（x﹣5）2+7的最小值是（ ）
a．﹣7 b．7 c．﹣5 d．5
2．如图，在rt△abc中，∠c=90°，ac=3，bc=4，则cosa的值为（ ）
a． b． c． d．
3．如图，⊙c与∠aob的两边分别相切，其中oa边与⊙c相切于点p．若∠aob=90°，op=6，则oc的长为（ ）
a．12 b． c． d．
4．将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（ ）
a．y=（x﹣6）2+5 b．y=（x﹣3）2+5 c．y=（x﹣3）2﹣4 d．y=（x+3）2﹣9
5．若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12π cm，则此扇形的圆心角等于（ ）
a．30° b．60° c．90° d．120°
6．如图，在平面直角坐标系xoy中，点a的坐标为（﹣1，2），ab⊥x轴于点b．以原点o为位似中心，将△oab放大为原来的2倍，得到△oa1b1，且点a1在第二象限，则点a1的坐标为（ ）
a．（﹣2，4） b．（，1） c．（2，﹣4） d．（2，4）
7．如图，一艘海轮位于灯塔p的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的a处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔p的正东方向上的b处．这时，b处与灯塔p的距离bp的长可以表示为（ ）
a．40海里 b．40tan37°海里 c．40cos37°海里 d．40sin37°海里。
8．如图，a，b，c三点在已知的圆上，在△abc中，∠abc=70°，∠acb=30°，d是的中点，连接db，dc，则∠dbc的度数为（ ）
a．30° b．45° c．50° d．70°
9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
a．y=60（300+20x） b．y=（60﹣x）（300+20x）
c．y=300（60﹣20x） d．y=（60﹣x）（300﹣20x）
10．二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
a．8 b．﹣10 c．﹣42 d．﹣24
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．若，则的值为 ．
12．点a（﹣3，y1），b（2，y2）在抛物线y=x2﹣5x上，则y1 y2．（填“＞”或“=”
13．△abc的三边长分别为5，12，13，与它相似的△def的最小边长为15，则△def的周长为 ．
14．如图，线段ab和射线ac交于点a，∠a=30°，ab=20．点d在射线ac上，且∠adb是钝角，写出一个满足条件的ad的长度值：ad= ．
15．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺．
译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”
如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，oa是秋千的静止状态，a是踏板，cd是地面，点b是推动两步后踏板的位置，弧ab是踏板移动的轨迹．已知ac=1尺，cd=eb=10尺，人的身高bd=5尺．设绳索长oa=ob=x尺，则可列方程为 ．
16．阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：
尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
已知：p为⊙o外一点．
求作：经过点p的⊙o的切线．
小敏的作法如下：
如图，1）连接op，作线段op的垂直平分线mn交op于点c；
2）以点c为圆心，co的长为半径作圆，交⊙o于a，b两点；
3）作直线pa，pb．所以直线pa，pb就是所求作的切线．
老师认为小敏的作法正确．
请回答：连接oa，ob后，可证∠oap=∠obp=90°，其依据是 ；由此可证明直线pa，pb都是⊙o的切线，其依据是 ．
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．计算：4cos30°tan60°﹣sin245°．
18．如图，△abc中，ab=12，bc=15，ad⊥bc于点d，∠bad=30°，求tanc的值．
19．已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于a，b两点，点a在点b的左侧．
1）求a，b两点的坐标和此抛物线的对称轴；
2）设此抛物线的顶点为c，点d与点c关于x轴对称，求四边形acbd的面积．
20．如图，在四边形abcd中，ad∥bc，∠a=∠bdc．
1）求证：△abd∽△dcb；
2）若ab=12，ad=8，cd=15，求db的长．
21．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？
22．已知抛物线c1：y1=2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点．
1）求k的值；
2）怎样平移抛物线c1就可以得到抛物线c2：y2=2（x+1）2﹣4k？请写出具体的平移方法；
3）若点a（1，t）和点b（m，n）都在抛物线c2：y2=2（x+1）2﹣4k上，且n＜t，直接写出m的取值范围．
23．如图，ab是⊙o的一条弦，且ab=．点c，e分别在⊙o上，且oc⊥ab于点d，∠e=30°，连接oa．
1）求oa的长；
2）若af是⊙o的另一条弦，且点o到af的距离为，直接写出∠baf的度数．
24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在b处测得最高塔塔顶a的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达c处，再次测得最高塔塔顶a的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度ad约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.
85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
25．如图，△abc内接于⊙o，ab是⊙o的直径．pc是⊙o的切线，c为切点，pd⊥ab于点d，交ac于点e．
1）求证：∠pce=∠pec；
2）若ab=10，ed=，sina=，求pc的长．
26．阅读下面材料：
如图1，在平面直角坐标系xoy中，直线y1=ax+b与双曲线y2=交于a（1，3）和b（﹣3，﹣1）两点．
观察图象可知：
当x=﹣3或1时，y1=y2；
当﹣3＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞的解集．
有这样一个问题：求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集．
某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集进行了**．
下面是他的**过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：
1）将不等式按条件进行转化：
当x=0时，原不等式不成立；
当x＞0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＞；
当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＜；
2）构造函数，画出图象。
设y3=x2+4x﹣1，y4=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．
双曲线y4=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x﹣1；（不用列表）
3）确定两个函数图象公共点的横坐标。
观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有x的值为 ；
4）借助图象，写出解集。
结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集为 ．
27．（7分）如图，在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点a（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c的图象分别交于b，c两点，点b在第一象限．
1）求二次函数y=﹣+bx+c的表达式；
2）连接ab，求ab的长；
3）连接ac，m是线段ac的中点，将点b绕点m旋转180°得到点n，连接an，cn，判断四边形abcn的形状，并证明你的结论．
28．（7分）在△abc中，∠acb=90°，ac=bc=4，m为ab的中点．d是射线bc上一个动点，连接ad，将线段ad绕点a逆时针旋转90°得到线段ae，连接ed，n为ed的中点，连接an，mn．
1）如图1，当bd=2时，an= ，nm与ab的位置关系是 ；
2）当4＜bd＜8时，依题意补全图2；
判断（1）中nm与ab的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；
3）连接me，在点d运动的过程中，当bd的长为何值时，me的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．
29．（8分）在平面直角坐标系xoy中，过⊙c上一点p作⊙c的切线l．当入射光线照射在点p处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点p称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙c，即当入射光线在⊙c外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙c内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．
光线在⊙c外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．
1）自⊙c内一点出发的入射光线经⊙c第一次反射后的示意图如图2所示，p1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙c第二次反射后的反射光线；
2）当⊙o的半径为1时，如图3，第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙o的外部照射在其上点p处，此光线经⊙o反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为 °；
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