1.（99年本题10分）在δabc中，已知bc=a,ca=b,ab=c,s=,内切圆i和bc、ca、ab分别相切于点d、e、f.求证：
(1)af=s-a;(2) sδabc=s(s-a)tan.
解：证明：(1)设ae=af=x，bf=bd=y，cd=ce=z，解得x＝s-a，所以af＝s-a. (4分)
2)设内切圆i的半径为r，连ia、ib、ic、id、ie、if，则。
2．（2024年本题12分）我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料辅成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面．现在，问：
1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？
2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．
3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．
解．（1）所用材料的形状不能是正五边形．2分。
因为，正五边形的每个内角都是108°，3分。
要铺成平整、无空隙的地面，必须使若干个正五边形拼成一个周角（360°），但找不到符合条件n×108°=360°的n．故不能用开头是正五边形的材料铺地面．5分。
2）能按要求画出草图．8分。
3）能按要求画出草图．12分。
注：①对于第（1）小题，解释不能用正五边形的材料铺地面时，如用3×108°＜360°＜4×108°进行说明，也是正确的，同样给分．其他类似解释，只要说理清楚也同样给分．
符合第（2）小题要求的铺地方案很多．下面提供几例作为参考．
符合第（3）小题要求的铺地方案也很多．下面也提供几例作为参考．
3、（2024年本题12分）某公司生产的a种产品，它的成本是2元，售价是3元，车销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
1）求y与x的函数关系式；
2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润s（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式：
3）如果投入的年广告费为10~30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大大而增大？（本题无答案）
4．（2024年本题12分）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：
甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；
乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图一，△abc是正三角形，＝＝可以证明六边形adbecf的各内角相等，但它未必是正六边形；
丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想，边数是7时，它可能也是正多边形．
（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等．
（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形abcdefg（如图二）是正七边形（不必写已知、求证）．
（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）．
（1）【说明】
（2）【证明】
（3）【猜想】
图一。图二）
解：（1）由图知∠afc对．因为＝，而∠daf对的＝＋
2分）所以∠afc＝∠daf3分）
同理可证，其余各角都等于∠afc4分）
所以，图1中六边形各内角相等．
（2）因为∠a对，∠b对，又因为∠a＝∠b，所以 ＝，所以 ＝．6分）
同理8分）所以七边形abcdefg是正七边形9分）
（3）猜想：当边数是奇数时（或当边数3，5，7，9，……时），各内角相等的圆内接多边形是正多边形12分）
（若仅猜想边数是某些具体奇数（不能是3，5，7）时，各内角相等的圆内接多边形是正多形．给1分）
5.（2024年本题14分）如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把这与正三角形的接近程度称为“正度”。在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。
设等腰三角形的底和腰分别为a，b，底角和顶角分别为α，β要求“正度”的值是非负数。
同学甲认为：可用式子|a-b|来表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；
同学乙认为：可用式子|α-来表示“正度”，|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形。
**：（1）他们的方案哪个较合理，为什么？
2）对你认为不够合理的方案，**以改进（给出式子即可）；
3）请再给出一种衡量“正度”的表达式。
解：（1）同学乙的方案较为合理。因为|α-的值越小，α与β越接近600，因而该等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相等2分。
同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“正度”相等。如：边长为4，4，2和边长为8，8，4的两个等腰三角形相似，但|2-4|=2≠|4-8|=46分。
2）对同学甲的方案可改为用等（k为正数）来表示“正度” …10分。
3）还可用等来表示“正度”
说明：本题只要求学生在保证相似三角形的“正度”相等的前提下，用式子对“正度”作大致的刻画，第（2）、（3）小题都是开放性问题，凡符合要求的均可。
6.（2024年本题12分）某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元．该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+bx，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的为4万元．
(1)求y的解析式；
2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资？
解：(1)由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=6．分别代入y=ax2+bx，解得：a=1b=1．y=x2+x
2)，设g=33x-100-x2-x，则g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156
由于当1≤x≤l 6时，g随x的增大而增大．且当x=1，2，3时，g的值均小于o，当x=4时，g=-122+156>0，可知投产后该企业在第4年就能收回投资。
7．（（2024年课改区本题14分））两人袄去某风景区游玩， 每天某一时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同),但是他们不知道这些车的舒适程度， 也不知道汽车开过来的顺序。 两人采用了不同的乘车方案：
甲无论如何总是上开来的第一辆车。 而乙则是先观察后上车， 当第一辆车开来时， 他不上车， 而是子痫观察车的舒适状况， 如果第二辆车的舒适程度比第一辆好， 他就上第二辆车； 如果第二辆车不比第一辆好， 他就上第三辆车。
如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等， 请尝试着解决下面的问题：
1) 三辆车按出现的先后顺序工有哪几种不同的可能？
2) 你认为甲、乙采用的方案， 哪一种方案使自己乘上等车的可能性大？ 为什么？
解】（1）三辆车开来的先后顺序有6种可能：
（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下、中、上）、（下、上、中）． 6分。
（2）由于不知道任何信息，所以只能假定6种顺序出现的可能性相同．我们来研究在各种可能性的顺序之下，甲、乙二人分别会上哪一辆汽车：
10分。于是不难得出，甲乘上、中、下三辆车的概率都是；而乙乘上等车的概率是，乘中等车的概率是，乘下等车的概率是．
乙采取的方案乘坐上等车的可能性大． 14分。
9。（2024年本题 14 分）．按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：
ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；
ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。
1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上述两个要求；
2）若按关系式y=a(x－h)2＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）
解】（1）当p=时，y=x＋,即y=。
y随着x的增大而增大，即p=时，满足条件（ⅱ）3分。
又当x=20时，y==100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（ⅰ）综上可知，当p=时，这种变换满足要求；……6分。
2）本题是开放性问题，答案不唯一。
若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。
如取h=20,y=,…8分。
a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大…10分。
令x=20,y=60，得k=60
令x=100,y=100，得a×802＋k=100
由①②解得14分。
10．（2024年本题14分）刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的a镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再往a镇参加救灾。一分队了发后得知，唯一通往a镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4＋a）千米/时。
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