2016年高考数学理试题分类汇编。
圆锥曲线。一、选择题。
1、(2016年四川高考)设o为坐标原点,p是以f为焦点的抛物线上任意一点,m是线段pf上的点,且=2,则直线om的斜率的最大值为。
a) (b) (cd)1
答案】c2、(2016年天津高考)已知双曲线(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于a、b、c、d四点,四边形的abcd的面积为2b,则双曲线的方程为( )
a)(b)(c)(d)
答案】d3、(2016年全国i高考)已知方程–=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是。
a)(–1,3b)(–1c)(0,3) (d)(0,)
答案】a4、(2016年全国i高考)以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a,b两点,交c的准线于d,e两点。已知|ab|=,de|=,则c的焦点到准线的距离为。
a)2b)4c)6d)8
答案】b5、(2016年全国ii高考)圆的圆心到直线的距离为1,则a=(
a) (b) (c) (d)2
答案】a6、(2016年全国ii高考)圆已知是双曲线的左,右焦点,点在上,与轴垂直,,则e的离心率为( )
a) (b) (c) (d)2
答案】a7、(2016年全国iii高考)已知o为坐标原点,f是椭圆c:的左焦点,a,b分别为c的左,右顶点。p
为c上一点,且轴。过点a的直线l与线段交于点m,与y轴交于点e.若直线bm经过oe的中。
点,则c的离心率为。
abcd)答案】a
8、(2016年浙江高考) 已知椭圆c1: +y2=1(m>1)与双曲线c2:–y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为c1,c2的离心率,则。
a.m>n且e1e2>1 b.m>n且e1e2<1 c.m1 d.m【答案】a
二、填空题。
1、(2016年北京高考)双曲线(,)的渐近线为正方形oabc的边oa,oc所在的直线,点b为该双曲线的焦点,若正方形oabc的边长为2,则。
答案】22、(2016年山东高考)已知双曲线e: (a>0,b>0),若矩形abcd的四个顶点在e上,ab,cd的中点为e的两个焦点,且2|ab|=3|bc|,则e的离心率是___
答案】2解析】由题意,所以,于是点在双曲线上,代入方程,得,在由得的离心率为,应填2.
3、(2016年上海高考)已知平行直线,则的距离。
答案】4、(2016年浙江高考)若抛物线y2=4x上的点m到焦点的距离为10,则m到y轴的距离是___
答案】三、解答题。
1、(2016年北京高考) 已知椭圆c: (的离心率为 ,,的面积为1.
1)求椭圆c的方程;
2)设的椭圆上一点,直线与轴交于点m,直线pb与轴交于点n.
求证:为定值。
解析】⑴由已知,,又,解得。
椭圆的方程为。
方法一:设椭圆上一点,则。
直线:,令,得。
直线:,令,得。
将代入上式得。
故为定值。方法二:
设椭圆上一点,直线pa:,令,得。
直线:,令,得。
故为定值。2、(2016年山东高考)平面直角坐标系中,椭圆c:的离心率是,抛物线e:的焦点f是c的一个顶点。
i)求椭圆c的方程;
ii)设p是e上的动点,且位于第一象限,e在点p处的切线与c交与不同的两点a,b,线段ab的中点为d,直线od与过p且垂直于x轴的直线交于点m.
i)求证:点m在定直线上;
ii)直线与y轴交于点g,记的面积为,的面积为,求的最大值及取得最大值时点p的坐标。
解析】(ⅰ由离心率是,有,又抛物线的焦点坐标为,所以,于是,所以椭圆的方程为.
ⅱ) i)设点坐标为,由得,所以在点处的切线的斜率为,因此切线的方程为,设,将代入,得。
于是,又,于是直线的方程为.
联立方程与,得的坐标为.
所以点在定直线上.
ii)在切线的方程为中,令,得,即点的坐标为,又,所以;
再由,得。于是有.
令,得。当时,即时,取得最大值.
此时,,所以点的坐标为.
所以的最大值为,取得最大值时点的坐标为.
3、(2016年上海高考) 有一块正方形菜地,所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是,菜地分为两个区域和,其中中的蔬菜运到河边较近,中的蔬菜运到点较近,而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点为的中点,点的坐标为(1,0),如图。
1)求菜地内的分界线的方程。
2)菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍,由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为1的点,请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积,及五边形的面积,并判断哪一个更接近于面积的经验值。
解析】1)因为上的点到直线与到点的距离相等,所以是以为焦点、以。
为准线的抛物线在正方形内的部分,其方程为().
2)依题意,点的坐标为.
所求的矩形面积为,而所求的五边形面积为.
矩形面积与“经验值”之差的绝对值为,而五边形面积与“经验值”之差。
的绝对值为,所以五边形面积更接近于面积的“经验值”.
4、(2016年上海高考)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。
双曲线的左、右焦点分别为,直线过且与双曲线交于两点。
1)若的倾斜角为,是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
2)设,若的斜率存在,且,求的斜率。
答案】(1).(2).
解析】(1)设.
由题意,因为是等边三角形,所以,即,解得.
故双曲线的渐近线方程为.
2)由已知,,.
设,,直线.显然.
由,得.因为与双曲线交于两点,所以,且.
设的中点为.
由即,知,故.
而,所以,得,故的斜率为.
5、(2016年四川高考)已知椭圆e:的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆e有且只有一个公共点t.
i)求椭圆e的方程及点t的坐标;
ii)设o是坐标原点,直线l’平行于ot,与椭圆e交于不同的两点a、b,且与直线l交于点p.证明:存在常数λ,使得∣pt∣2=λ∣pa∣· pb∣,并求λ的值。
有方程组得。
方程的判别式为,由,得,此方程的解为,所以椭圆e的方程为。
点t坐标为(2,1).
由得。所以,同理,所以。
故存在常数,使得。
6、(2016年天津高考)设椭圆()的右焦点为,右顶点为,已知,其中为原点,为椭圆的离心率。
ⅰ)求椭圆的方程;
ⅱ)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点,若,且,求直线的斜率的取值范围。
解析】2)(ⅱ解:设直线的斜率为(),则直线的方程为。设,由方程组,消去,整理得。
解得,或,由题意得,从而。
由(ⅰ)知,,设,有,.由,得,所以,解得。因此直线的方程为。
设,由方程组消去,解得。在中,,即,化简得,即,解得或。
所以,直线的斜率的取值范围为。
7、(2016年全国i高考)设圆的圆心为a,直线l过点b(1,0)且与x轴不重合,l交圆a于c,d两点,过b作ac的平行线交ad于点e.
i)证明为定值,并写出点e的轨迹方程;
)设点e的轨迹为曲线c1,直线l交c1于m,n两点,过b且与l垂直的直线与圆a交于p,q两点,求四边形mpnq面积的取值范围。
解析】(ⅰ因为,,故,所以,故。
又圆的标准方程为,从而,所以。
由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为:()
8、(2016年全国ii高考)已知椭圆的焦点在轴上,是的左顶点,斜率为的直线交于两点,点在上,.
ⅰ)当时,求的面积;
ⅱ)当时,求的取值范围.
解析】 ⑴当时,椭圆e的方程为,a点坐标为,则直线am的方程为.
联立并整理得,
解得或,则。
因为,所以。
因为,所以,整理得,无实根,所以.
所以的面积为.
直线am的方程为,联立并整理得,
解得或,所以。
所以。因为。
所以,整理得,.
因为椭圆e的焦点在x轴,所以,即,整理得。
解得.9、(2016年全国iii高考)已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线分别交于两点,交的准线于两点.
i)若**段上,是的中点,证明;
ii)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程。
10、(2016年浙江高考)如图,设椭圆(a>1).
i)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示);
ii)若任意以点a(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围。
试题解析】(i)设直线被椭圆截得的线段为,由得。
故,.因此.
ii)假设圆与椭圆的公共点有个,由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点,,满足。
记直线,的斜率分别为,,且,,.
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