1. （10分）设函数，1） 求函数沿着点指向点方向的方向导数；
2） 求，.
解：(1)，，故所求的方向导数为。
2) 由（1）得，.
2. （10分）计算二重积分，其中积分区域。
解：原式==
3. （10分）计算三重积分，其中是由锥面及平面所围区域。
解1：用截面法原式。
解2：积分区域等于大锥体减去小锥体，即，其中，
原式。4. （5分）设为圆周，计算。
解： 5. （5分）计算曲线积分，式中是由，及在第一象限所围成区域的正向边界。
解：根据格林公式有，原式=
6. （10分）已知空间物体由锥面所围成，其上每一点的密度与该点到顶点的距离成正比（比例系数为），（1）求该空间物体的质量；（2）求该空间物体的重心。
解： 根据对称性有。
所以重心坐标为。
7. （10分）计算，其中为下半球面的上侧，为大于零的常数。
解：记，取下侧，为下半球，根据高斯公式有。
8．（10分）设正项级数，若存在正数，使得，证明1：级数收敛。
解：由得。因为，所以收敛。
证明2：由，令得。
将这些式子相加得到 ，则
即正项级数前n项和有界，所以级数收敛。
9. （10分）求幂级数的收敛域及它的和函数，并求的极值。
解：由比值判别法的收敛半径为1，当时，交错级数收敛，所以收敛域为[-1,1]
两边求导得，两边积分有，所以。
令，得唯一驻点，
故在处取得极大值，且极大值为。
10. （10分）将函数展开成x的幂级数。
解：，，两边积分得。
所以，因为级数收敛，函数在处连续，所以。
11. （10分）将函数展开成周期为2的傅里叶级数，并由此计算级数的和。
解：， 因为是偶函数，所以，
所以， 令即得。
附加题 （10分）设有级数，1）该级数是否条件收敛？（2）该级数是否绝对收敛，请给出你的证明。
解：（1），因为单调上升，所以单调下降趋于0.
则交错级数满足莱布尼兹定理，故收敛。
而发散，所以发散，故原级数不是绝对收敛，是条件收敛。
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