二、解：1.
因为：，故：
三、解：将向量组构成的矩阵化为行最简阶梯形矩阵。
1.因为，故向量组的秩为3。
2．因为线性无关，则线性无关，而a中任意4个列向量线性相关，故是向量组的一个最大无关组。
3．可唯一地由线性表示，易见，则。
四、解：1.对增广矩阵作初等行变换，有。
因为系数矩阵和增广矩阵地秩都等于2，故该线性方程组有无穷多解。
线性方程组的同解方程组为：
2.取自由变量为，分别取，得到线性方程组对应得齐次线性方程组的基础解系为：
3．取，得到线性方程组的一个特解为，因此方程组的通解是。
五、解：1.二次型的矩阵为。
它的特征多项式为。
于是a的特征值为。
对应特征值，解方程，由，得基础解系，已单位化。
对应特征值，解方程，由，得基础解系，将其，得单位化，得。
对应特征值，解方程，由，得基础解系，将其，得单位化，得。
2.所求得正交变换为。
且标准形为。
六、1.证明：因为，故，则，故a可逆，且。
又由，得，则，即。
故可逆，且。
2.证明：(1)能由线性表示，则有一组不全为零的数，使得，又因为不能由线性表示，故。所以(1)式可移项整理得，因为，故可由线性表示。
2)用反证法，假设能由线性表示，又因为可由线性表示，故能由线性表示，这与题设矛盾。故不能由线性表示。
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