2010~2024年第一学期线性代数参***。
一、 单项选择。
二、 填空题。
1、 2、列为满秩或r(a)=n、 6、三、 计算题。
1、（1）原式=
从而为一个极大无关组，
3、 解：同解方程组为。
基础解系为：，非齐次线性方程的一个特解为。
所以原方程的通解为：（为任意常数）。
4、（1）当时，，，方程组无解；
且时，，方程组有唯一解；
时，方程组有无穷多个解。
2）时， 同解方程组为。
对应齐次线形方程组的基础解系为，
非其次方程组的一个特解为。
所以原方程的通解为（为任意常数）。
5、a 的特征值：， 即，特征值为：（三重），。
当时，，解得基础解系为： ，
将正交化，得： ，再将单位化，得。
当时，，解得基础解系为：，将单位化得。
令则有。四、 证明题。
1、证明：设为的解，则。
设为的解，则，则满足。
为列满秩矩阵
只有零解。也是的解，因此，与同解。
2、（1）证明：设有关系式 （1）
用矩阵a左乘上式两边得： 即2）
由于由（2）（3）可得从而（1）式变为。
因为是对应齐次线性方程组的一个基础解系，从而线性无关，于是，由定义知，线性无关。
2）设有关系式。
即。有（1）知，线性无关，从而且。
故，所以，线性无关。
《线性代数》试卷A答案
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