2024年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科数学。
一、选择题：
1. 设全集为r, 函数的定义域为m，则为。
(a) (1) (b) (1c) (d)
2. 已知向量，若a//b，则实数m等于。
(a) (b)
(c)或 (d) 0
3. 设a, b, c均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是。
(ab) (c) (d)
4. 根据下列算法语句， 当输入x为60时， 输出y的值为。
(a) 25
(b) 30
(c) 31
(d) 61
1. 对一批产品的长度(单位： 毫米)进行抽样检测， 下图为检测结果的频率分布直方图。
根据标准， 产品长度在区间[20,25)上为一等品， 在区间[15,20)和区间[25,30)上为二等品， 在区间[10,15)和[30,35)上为三等品。 用频率估计概率， 现从该批产品中随机抽取1件， 则其为二等品的概率为。
(a) 0.09 (b) 0.20 (c) 0.25 (d) 0.45
6. 设z是复数， 则下列命题中的假命题是。
(a) 若， 则z是实数 (b) 若， 则z是虚数。
(c) 若z是虚数， 则 (d) 若z是纯虚数， 则
7. 若点(x,y)位于曲线y = x|与y = 2所围成的封闭区域， 则2x－y的最小值为。
(a) －6 (b) －2 (c) 0 (d) 2
8. 已知点m(a,b)在圆外， 则直线ax + by = 1与圆o的位置关系是。
(a) 相切 (b) 相交 (c) 相离 (d) 不确定。
9 设△abc的内角a, b, c所对的边分别为a, b, c, 若， 则△abc的形状为。
(a) 直角三角形 (b) 锐角三角形 (c) 钝角三角形 (d) 不确定。
10. 设[x]表示不大于x的最大整数， 则对任意实数x,有。
(a) [x] =x] (b) [x +]x]
(c) [2x] =2[x] (d)
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 双曲线的离心率为 .
12. 某几何体的三视图如图所示， 则其表面积为 .
13. 观察下列等式：
照此规律， 第n个等式可为。
14. 在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为 (m).
15. (考生请注意：请在下列三题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题评分)
a. (不等式选做题) 设a, b∈r, |a－b|>2, 则关于实数x的不等式的解集是 .
b. (几何证明选做题) 如图， ab与cd相交于点e, 过e作bc的平行线与ad的延长线相交于点p. 已知， pd = 2da = 2, 则pe
c. (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是。
三、解答题： 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16. (本小题满分12分)
已知向量， 设函数。
(ⅰ)求f (x)的最小正周期。
(ⅱ)求f (x) 在上的最大值和最小值。
17. (本小题满分12分)
设sn表示数列的前n项和。
(ⅰ)若为等差数列， 推导sn的计算公式；
(ⅱ)若， 且对所有正整数n, 有。 判断是否为等比数列。
18. (本小题满分12分)
如图， 四棱柱abcd－a1b1c1d1的底面abcd是正方形， o为底面中心， a1o⊥平面abcd,.
(ⅰ)证明： a1bd //平面cd1b1;
(ⅱ)求三棱柱abd－a1b1d1的体积。
19. (本小题满分12分)
有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛， 由500名大众评委现场投票决定歌手名次， 根据年龄将大众评委分为5组， 各组的人数如下：
(ⅰ)为了调查评委对7位歌手的支持状况， 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委， 其中从b组中抽取了6人。 请将其余各组抽取的人数填入下表。
(ⅱ)在(ⅰ)中， 若a, b两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手， 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人， 求这2人都支持1号歌手的概率。
20. (本小题满分13分)
已知动点m(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点n(1,0)的距离的2倍。
(ⅰ)求动点m的轨迹c的方程；
(ⅱ)过点p(0,3)的直线m与轨迹c交于a, b两点。 若a是pb的中点， 求直线m的斜率。
21. (本小题满分14分)
已知函数。
(ⅰ)求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程；
(ⅱ)证明： 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点。
(ⅲ)设a答案：
2. c 3. b 4. c 5. d 6. c 7. a 8. b 9. a 10. d
b c (1, 0)
16【解】=。
最小正周期。
所以最小正周期为。
所以，f (x) 在上的最大值和最小值分别为。
17【解】(ⅰ设公差为d,则。
所以，是首项，公比的等比数列。
18【解】 (设。(证毕)
在正方形ab cd中，ao = 1 .
所以，.19【解】 (按相同的比例从不同的组中抽取人数。
从b组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从100人中抽取6人，从100人中抽取9人。
ⅱ) a组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为·
b组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为·
现从抽样评委a组3人，b组6人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率。
所以，从a,b两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为。
20.【解】 (点m(x,y)到直线x=4的距离，是到点n(1,0)的距离的2倍，则。
所以，动点m的轨迹为椭圆，方程为。
ⅱ) p(0, 3), 设。
椭圆经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在。.联立椭圆和直线方程，整理得：
所以，直线m的斜率。
21. 【答案】(ⅰy = x+ 1.
当m时，有0个公共点；当m=,有1个公共点；当m有2个公共点；
ⅱ) f (x)的反函数，则y=g(x)过点（1,0）的切线斜率k=.
过点（1,0）的切线方程为：y = x+ 1
ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点，过程如下。
因此， 所以，曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕）
ⅲ) 设。令。且。
高考文科数学试题 陕西卷
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