全等三角形。
一、选择题。
1、（2016 苏州二模）如图，和均是边长为2的等边三角形，点是边、的中点，直线、相交于点。当绕点旋转时，线段长的最小值是。
a. b. cd.
答案：d2、（2016青岛一模）如图，在△abc中，∠c=90°，ab=5cm，ac=4cm，点d在ac上，将△bcd沿着bd所在直线翻折，使点c落在斜边ab上的点e处，则dc的长为（ ）
a． cm b． cm c．2cm d． cm
考点】翻折变换（折叠问题）．
分析】首先由勾股定理求出bc，由折叠的性质可得∠bed=∠c=90°，be=bc=3cm，得出ae=ab﹣be=2cm，设dc=xcm，则de=xcm，ad=（4﹣x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解答】解：∵∠c=90°，ab=5cm，ac=4cm，bc==3cm，将△bcd沿着直线bd翻折，使点c落在斜边ab上的点e处，△bed≌△bcd，∠bed=∠c=90°，be=bc=3cm，ae=ab﹣be=2cm，设dc=xcm，则de=xcm，ad=（4﹣x）cm，由勾股定理得：ae2+de2=ad2，即22+x2=（4﹣x）2，解得：
x=．故选：b．3．(2016·新疆乌鲁木齐九十八中·一模)如图，边长为2a的等边三角形abc中，m是高ch所在直线上的一个动点，连接mb，将线段bm绕点b逆时针旋转60°得到bn，连接hn．则在点m运动过程中，线段hn长度的最小值是（ ）
a． a b．a c． d．
考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析】取cb的中点g，连接mg，根据等边三角形的性质可得bh=bg，再求出∠hbn=∠mbg，根据旋转的性质可得mb=nb，然后利用“边角边”证明∴△mbg≌△nbh，再根据全等三角形对应边相等可得hn=mg，然后根据垂线段最短可得mg⊥ch时最短，再根据∠bch=30°求解即可．
解答】解：如图，取bc的中点g，连接mg，旋转角为60°，∠mbh+∠hbn=60°，又∵∠mbh+∠mbc=∠abc=60°，∠hbn=∠gbm，ch是等边△abc的对称轴，hb=ab，hb=bg，又∵mb旋转到bn，bm=bn，在△mbg和△nbh中，△mbg≌△nbh（sas），mg=nh，根据垂线段最短，mg⊥ch时，mg最短，即hn最短，此时∵∠bch=×60°=30°，cg=ab=×2a=a，mg=cg=×a=，hn=，故选：d．
点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
4. （2016·上海市闸北区·中考数学质量检测4月卷）如图，已知∠bda＝∠cda，则不一定能使△abd≌△acd的条件是。
a）bd＝dcb）ab＝ac
c）∠b＝∠cd）∠bad＝∠cad
答案：b5. （2016·湖南湘潭·一模）如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是。
a．， b．，
c．， d．，
答案：c 6. （2016·广东东莞·联考）如图，过abcd的对角线bd上一点m分别作平行四边形两边的平行线ef与gh，那么图中的aemg的面积s1与hcfm的面积s2的大小关系是（ ）
a．s1＞s2 b．s1＜s2 c．s1=s2 d．2s1=s2
考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形gbep、gpfd，证△abd≌△cdb，得出△abd和△cdb的面积相等；同理得出△bem和△mhb的面积相等，△gmd和△fdm的面积相等，相减即可求出答案．
解答】解：∵四边形abcd是平行四边形，ef∥bc，hg∥ab，ad=bc，ab=cd，ab∥gh∥cd，ad∥ef∥bc，四边形hbem、gmfd是平行四边形，在△abd和△cdb中；，△abd≌△cdb（sss），即△abd和△cdb的面积相等；
同理△bem和△mhb的面积相等，△gmd和△fdm的面积相等，故四边形aemg和四边形hcfm的面积相等，即s1=s2．
故选：c．点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△abd和△cdb的面积相等，△bep和△pgb的面积相等，△hpd和△fdp的面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等。
7. （2016·广东深圳·一模）如图，过边长为3的等边△abc的边ab上一点p，作pe⊥ac于e，q为bc延长线上一点，当pa=cq时，连接pq交边ac于点d，则de的长为（ ）
a． b． c． d．不能确定。
考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定与性质．
专题】证明题．
分析】过p作pf∥bc交ac于f，得出等边三角形apf，推出ap=pf=qc，根据等腰三角形性质求出ef=ae，证△pfd≌△qcd，推出fd=cd，推出de=ac即可．
解答】解：过p作pf∥bc交ac于f，pf∥bc，△abc是等边三角形，∠pfd=∠qcd，∠apf=∠b=60°，∠afp=∠acb=60°，∠a=60°，△apf是等边三角形，ap=pf=af，pe⊥ac，ae=ef，ap=pf，ap=cq，pf=cq，在△pfd和△qcd中。
△pfd≌△qcd，fd=cd，ae=ef，ef+fd=ae+cd，ae+cd=de=ac，ac=3，de=，故选b．
点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
2、填空题。
1．（2016·天津市和平区·一模）如图，△abc和△cde都是等边三角形，且∠ebd=66°，则∠aeb的大小= 126° ．
考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析】由等边三角形的性质得出bc=ac，∠abc=∠acb=∠bac=∠dce=60°，cd=ce，得出∠bcd=∠ace，由sas证明△bcd≌△ace，得出∠cbd=∠cae，再证明∠cbd﹣6°=∠abe，得出∠abe=∠cae﹣6°，求出∠abe+∠bae=∠bac﹣6°，即可求出∠aeb的大小．
解答】解：∵△abc和△cde都是等边三角形，bc=ac，∠abc=∠acb=∠bac=∠dce=60°，cd=ce，∠bcd=∠ace，在△bcd和△ace中，△bcd≌△ace（sas），∠cbd=∠cae，∠ebd=66°，∠cbd=∠abe+（66°﹣60°）
∠abe=∠cae﹣6°，∠abe+∠bae=∠cae+∠bae﹣6°=∠bac﹣6°=54°，∠aeb=180°﹣54°=126°；
故答案为：126°．
点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等得出对应角相等是解决问题的关键．
2．（2016·天津五区县·一模）如图，ab=ac，要使△abe≌△acd，应添加的条件是 ∠b=∠c或ae=ad （添加一个条件即可）．
考点】全等三角形的判定．
专题】开放型．
分析】要使△abe≌△acd，已知ab=ac，∠a=∠a，则可以添加一个边从而利用sas来判定其全等，或添加一个角从而利用aas来判定其全等．
解答】解：添加∠b=∠c或ae=ad后可分别根据asa、sas判定△abe≌△acd．
故答案为：∠b=∠c或ae=ad．
点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：sss、sas、asa、aas、hl．添加时注意：aaa、ssa不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
三、解答题。
1．(2016·重庆巴蜀 ·一模）如图，点c，d**段bf上，ab∥de，ab=df，bc=de．求证：ac=fe．
分析】首先由ab∥de，可以得到∠b=∠edf，然后利用sas证明△abc与△def全等，最后利用全等三角形的性质即可解决问题．
解答】证明：∵ab∥de，∠b=∠edf，在△abc与△def中，△abc≌△def（sas），ac=fe．
2．(2016·重庆巴南 ·一模）已知：∠d=∠e，ad=ae，∠1=∠2．求证：bd=ce．
分析】先证出∠bad=∠cae，再由asa证明△abd≌△ace，得出对应边相等即可．
解答】证明：∵∠1=∠2，∠bad=∠cae，在△abd与△ace中，△abd≌△ace（asa），bd=ce
3.(2016·重庆铜梁巴川·一模）如图，点c，e，f，b在同一直线上，点a，d在bc异侧，ab∥cd，ae=df，∠a=∠d．求证：ab=cd．
分析】根据平行线的性质得出∠b=∠c，再根据aas证出△abe≌△dcf，从而得出ab=cd．
解答】解：∵ab∥cd，∠b=∠c，在△abe和△dcf中，△abe≌△dcf，ab=cd．
4．(2016·重庆巴南 ·一模）如图，abcd中，点e是bc边上的一点，且de=bc，过点a作af⊥cd于点f，交de于点g，连结ae、ef．
1）若ae平分∠baf，求证：be=ge；
2）若∠b=70°，求∠cde的度数．
3）若点e是bc边上的中点，求证：∠aef=2∠efc．
分析】（1）由四边形abcd是平行四边形，de=bc，易证得∠aeb=∠aeg，又由ae平分∠baf，可证得△abe≌△age，即可证得be=ge；
1）由（1）可知△abe≌△age，故此可知∠dgf=∠age=70°，在rt△dgf中，利用直角三角形两锐角互余可求得∠cde=20°；
3）延长ae，交dc的延长线于点m，易证得△abe≌△mce，又由af⊥cd，可得ef是rt△afm的斜边上的中线，继而证得结论．
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