济南第三职业中等专业学校。
立体几何既是高中数学的重点内容，又是高考的必考内容，它包括必修2的“立体几何初步”和选修2-1的“空间向量与立体几何”两部分，主要考查考生的空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和分析问题解决问题的能力。 本文对高考立体几何的试题特点、复习建议归纳如下，希望对广大考生有所帮助。
一、知识要点。
1.空间几何体。
点、线、面的生成及位置关系，两条直线、一条直线与一个平面、面面的平行及垂直的概念，点到直线、点到平面的距离概念，柱、锥、台、球的相关概念、性质、表面积公式、体积公式，平行投影的概念和性质，空间图形的直观图，斜二测画法，中心投影的概念和性质，三视图的概念及画法。
2.点、线、面之间的位置关系。
平面的4个基本性质和3个推论，等角定理，空间四边形的概念，直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，直线与平面、平面与平面的平行和垂直的概念，空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直。
3.空间向量及其运算（理）
空间向量的概念及运算、基本定理，两个向量的数量积，空间向量的坐标运算。
4.空间向量在立体几何中的应用（理）
平面法向量的概念、求法，线面角的概念，二面角的概念，用向量证明两条直线、一条直线与一个平面、两个平面的平行和垂直，用向量求两条直线所成的角、一条直线与一个平面所夹的角、二面角。
二、试题类型。
近五年山东高考数学试题对立体几何考查的题号、分值、试题类型、知识点，如下表。
注：表中“平行与垂直关系”一般是包含“两条直线、一条直线与一个平面、两个平面的平行与垂直关系”.
三、试题特点。
1.立体几何试题的题量逐步稳定为1～2道选择题或填空题，1道解答题，分数为16～22，约占全卷总分的10.7%～14.7%，试题的难度为中等偏易或中等。
2.立体几何试题通常是通过对基础知识的重新组合、拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧的问题，体现了在知识的交汇处设计数学试题的设计理念，知识的综合性强。
例1 （2012年江西高考）如图1，已知正四棱锥所有棱长都为，点是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分。记，截面下面部分的体积为，则函数的图象大致为（ ）
解析：本题在正四棱锥的基础上创设了垂直于棱的截面，在截面移动的过程中构造出截面下面部分的体积为这一函数，把棱锥的体积公式、线面垂直与函数有机的结合起来，体现了立体几何与函数交汇处设计问题．因为函数的解析式不易写出，若求解析式不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃．作为选择题，没必要去求解具体的解析式，应该“多想少算”，观察几何体积中的截面变化可知，当时，随着的增大，单调递减，且递减的速度越来越快；当时，随着的增大，单调递减，且递减的速度越来越慢；再分析4个选项中的图象，只有a图象符合．故选a．
3.高考对棱柱、棱锥、棱台的考查主要有两个方面：一是考查棱柱、棱锥、棱台的有关概念和性质、表面积和体积的计算（求锥体体积的问题，通过转换顶点和底面，确定锥体底面面积和高，得出体积，也可利用割补法求解。
）；二是将棱柱、棱锥、棱台作为载体考查立体几何的综合问题，如线线、线面、面面位置关系的证明，异面直线所成角、线面角、二面角的计算，折叠与展开问题等。 考查棱柱、棱锥、棱台的有关概念和性质、表面积和体积的计算时，往往是以选择题、填空题的形式出现；将棱柱、棱锥、棱台作为载体考查立体几何的综合问题时，以解答题的形式出现。
4.圆柱、圆锥、圆台、球在高考中一般以选择题、填空题的形式考查，圆柱、圆锥、圆台主要涉及截面、侧面展开、表面积、体积及与其他几何体的内接或外切问题，球主要涉及截面、表面积、体积及与其他几何体的内接或外切问题，思路是空间问题平面化，常常将问题转化为圆的问题思考。
5.直观图、三视图在高考中一般是以选择题、填空题的形式出现，考查几何体的表面积、体积、空间角的计算，也有出现在解答题中考查空间角的计算、平行与垂直的证明问题。
例2 已知5个几何体的三视图如图2-6所示，分别计算5个几何体的体积。
解析：解三视图的问题关键是通过三视图转化出几何体的直观图，从而判断出几何体的形状，再结合几何体的体积公式即可解决，主要考查学生的空间想象能力和运算能力。 图对应的几何体都是底面为正视图，高为的直六棱柱，体积分别为；图4对应的几何体是底面半径为3、母线长为5的圆锥和半径为3的半球构成的组合体，体积为；图5对应的几何体是两个底面半径为2、高为1的圆柱夹着一个底面半径为1、高为4的圆柱的组合体，体积为；图6对应的几何体是由底面半径为1的圆柱截得的，求它的体积可用割补法来考虑，再补一个相同的几何体，两个几何体合起来恰好是底面半径为1、高为6的圆柱，因此体积为。
也可以进一步求本题的前4个几何体的表面积，复习柱体、锥体的侧面积和球体的表面积计算公式。
6.点、线、面之间的位置关系是立体几何的基础，培养学生空间思维的工具，是解决立体几何中推理证明与计算的基础。 本部分知识的题型基本是1道选择题或填空题，文科1道解答题，理科1道解答题的第一问，难度不大，重点考查线线、线面、面面平行或垂直，解答此类问题的关键是充分理解和掌握基本定理的本质，掌握基本的解题方法。
1)证明两条直线的平行问题，大多通过中位线或平行四边形思考；证明两条直线的垂直问题，通常通过平移转化到一个三角形或一个四边形内思考。
2)证明线面平行（或垂直）问题，通常转化为线线、面面平行（或垂直）问题思考。
3)证明面面平行（或垂直）问题，通常转化为线线、线面平行（或垂直）问题思考。
4)（理）求两条异面直线所成角，首先异面直线所成的角的范围是，其次通过平移转化到三角形内，最后通过解三角形确定异面直线所成角。
5)（理）求线面角，首先线面角的范围是，其次若直线是平面的一条斜线，在直线上取一点向平面引垂线，垂足与斜足所在直线即为斜线的射影，则斜线与射影所成的锐角即为所求线面角，最后通过解三角形线面所成角。
6)（理）求二面角，首先二面角的范围是，其次利用三垂线定理作出二面角的一个平面角，通过解三角形解决，它包含一作辅助线、二证明两直线与二面角的棱垂直、三指出二面角的平面角、四计算角的大小等步骤（简称一作、二证、三指、四算）.
7)翻折与展开，解决折叠与展开问题的关键是搞清折叠前后图形中的变量和不变量，抓住不变量是解决问题的突破口。
例3 （2012年湖北高考）如图7，，，过动点作，垂足**段上且异于点，连接，沿将折起，使(如图8所示).
1)当的长为多少时，三棱锥的体积最大；
2)当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小。
解析： 本题是立体几何的一个折叠问题，考查三次函数的最值、导函数与函数单调性的关系、线面的平行与垂直关系和直线与平面所成角等知识。 本题的第二步既可用空间向量法解也可用传统的方法解。
1)在如图7所示的中，设，则。 由，知，为等腰直角三角形， .由折起前知，折起后(如图8)，，且，平面。
又， .于是。 令，则。
当时，；当时，.在上是增函数，在上是减函数，当时，取得最大值。 故当时，三棱锥的体积最大。
2)法1:以为原点，建立如图9所示的空间直角坐标系。 由(1)知，，.
于是，，，且。 设，则。， 即，.
当时，. 设平面的一个法向量为，由，及， 得，即，取得。 设与平面所成角为，则，即。
故与平面所成角为。
法2:由(1)知，， 如图10，取的中点，连结，，，则。 由(1)知平面， 平面。
如图11，延长至点使，连结，，则为正方形， .取的中点，连结，则， .平面，又平面，.
又，平面。 又平面，.即当时，.
连结， ,计算得，与是全等的等腰三角形，如图12所示，取的中点，连结，，则平面。在平面中，作于，则平面。故是与平面所成的角。
在中，易得， 是正三角形，故，即与平面所成角为。
8)探索性问题，通常以观察、判断、作图、推理、论证、结论为一般步骤。
7.（理）空间向量不仅是数学的一个重要知识点，而且也是简洁、有效地解决立体几何推理证明和计算的工具。 高考对这一部分的考查主要是通过解答题中适当的建立空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算解决相应的平行与垂直证明或空间角的计算问题。
要求考生熟练掌握空间向量的坐标运算，把握好空间几何体中建系的规律，掌握一些常用的解题方法，如证明平行、垂直，求平面的法向量等。
1)当图形中没有给出两两相互垂直三条直线时，选定坐标轴是一大难点，通常以直角三角形的直角边、矩形的临边、直角梯形的垂直的腰底、菱形的对角线所在直线为轴、轴，建立空间直角坐标系。
2)证明两条直线的平行问题，在确定对应向量的坐标，找出两个向量的数量关系，得出向量平行，从而两直线平行；证明两条直线的垂直问题，则通过对应向量的数量积为，判断两向量垂直，得出两直线垂直。
3)证线面平行，可以把直线上对应的向量用平面内的一组基底表示，从而得出线面平行，也可用线线平行或线与面的法向量垂直思考；证线面垂直，可用直线上对应的向量与平面内的一组基底垂直或与面的法向量平行思考。
4)证面面平行（或垂直），可用两平面的法向量平行（或垂直）思考。
5)求两条异面直线所成角，确定相应向量的坐标，由两向量的数量积公式求夹角的余弦，再确定异面直线所成角。
6)求线面角，先求平面的法向量，再用直线对应的向量与法向量夹角的余弦的绝对值，确定线面角的正弦值，从而得出线面角。
7)求二面角，先计算两平面的法向量，再由两向量数量积公式，求出它们的夹角余弦，最后确定二面角的大小。
8)探索性问题，若要用向量法，只需通过坐标运算进行判断，在解题过程中，把“是否存在”转化为“点的坐标在规定范围内是否有解”问题，简洁、高效。
例3 （2012年北京高考改编）如图13，在中，，，分别是上的点，且，，将沿折起到的位置，使，如图14.
2024年高考立体几何复习指导
本文发表在 现代教育 2013年第4期上。吴金革济南第三职业中等专业学校。立体几何既是高中数学的重点内容，又是高考的必考内容，它包括必修2的 立体几何初步 和选修2 1的 空间向量与立体几何 两部分，主要考查考生的空间想象能力 逻辑思维能力 运算求解能力和分析问题解决问题的能力。本文对高考立体几何的...
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