2019交大少年班数学考试题

一填空题。

1 满足方程的有序实数对(x,y)的个数为。

2 在凸四边形abcd中，ab=bc=cd，∠a：∠b：∠c=1：1：2，则∠d

3 已知抛物线与坐标轴分别交于三点， 直线l过点a交抛物线于b，交x轴于c，△can为等腰直角三角形，且，则抛物线的解析式为。

4 ad，be分别为△abc的角平分线，ad交be于o，且de=3，若ceod共圆，则△doe 内切圆半径为。

5 n个实数满足，则n的最小值为。

6 已知2012条直线，交坐标轴于，o为坐标原点，，则。

7 如图，正方形abcd中，e，f为bc，cd上的点，ag⊥ef于g，且ag=ab，eg=4，gf=6，bm=，则mn

8 n个整数满足，则的最大值与最小值分别为。

二解答题。1 如图所示的8个实数a,b,c,d,e,f,g,h，每个数都是相邻三个数的平均数，求证它们两两相等。

2 如图，a为半圆c上任意一点，d，b分别为af，ae中点，将∠dcb绕点c旋转到∠qcp。求证：

3 如图，已知四边形abcd关于坐标轴对称，ab=8，cd=6，关于y轴对称的两个三角形△efo与△gho（o为原点）称为“蝶形”，若两个蝶形的外接圆为同一个，则这两个蝶形称为“最美的”。已知蝶形efhg与ijlk为最美的，。

求证：不存在最值。

4 已知一堆卡片，每个卡片上标有一个小于30的正数，且所有卡片上所有数字之和为1080。分n批不放回的取出卡片，每一批的卡片数字之和不超过120，且让卡片和最大，设每一批的卡片数字和分别为。

1）判断的大小关系，指出除第n批外，每批至少取走的卡片数为多少；

2）当时，求证；

3）对于任意满足条件的有限张（n张）卡片，证明：

5 已知n与f(n)均为自然数，且满足：

3）求满足的n的个数。

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