2024年初中数学组卷

一．解答题（共7小题）

1．如图，某人为了测量小山顶上的塔ed的高，他在山下的点a处测得塔尖点d的仰角为45°，再沿ac方向前进60m到达山脚点b，测得塔尖点d的仰角为60°，塔底点e的仰角为30°，求塔ed的高度．（结果保留根号）

2．如图，信号塔pq座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔pq落在斜坡上的影子qn长为2米，落在警示牌上的影子mn长为3米，求信号塔pq的高．（结果不取近似值）3．如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼cd的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.

5米，在a处测得五楼顶部点d的仰角为60°，在b处测得四楼顶部点e的仰角为30°，ab=14米．求居民楼的高度（精确到0.1米，参考数据：≈1.

73）4．如图，在△abc中，以bc为直径的⊙o交ac于点e，过点e作ef⊥ab于点f，延长ef交cb的延长线于点g，且∠abg=2∠c．

1）求证：ef是⊙o的切线；（2）若sin∠egc=，⊙o的半径是3，求af的长．（2）若sin∠egc=，⊙o的半径是3，求af的长．

5．如图，ab为⊙o的直径，c、d为⊙o上的两点，∠bac=∠dac，过点c做直线ef⊥ad，交ad的延长线于点e，连接bc．

1）求证：ef是⊙o的切线；

2）若de=1，bc=2，求劣弧的长l．

6．鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售**每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个．

1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；

2）设商户每周获得的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？

3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？

7．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点a（0，3），与x正半轴相交于点b，对称轴是直线x=1

1）求此抛物线的解析式以及点b的坐标．

2）动点m从点o出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点n从点o出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当n点到达a点时，m、n同时停止运动．过动点m作x轴的垂线交线段ab于点q，交抛物线于点p，设运动的时间为t秒．

当t为何值时，四边形ompn为矩形．

当t＞0时，△boq能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

2017年12月20日135***1525的初中数学组卷。

参***与试题解析。

一．解答题（共7小题）

解答】解：由题知，∠dbc=60°，∠ebc=30°，∠dbe=∠dbc﹣∠ebc=60°﹣30°=30°．

又∵∠bcd=90°，∠bdc=90°﹣∠dbc=90°﹣60°=30°．

∠dbe=∠bde．

be=de．

设ec=xm，则de=be=2ec=2xm，dc=ec+de=x+2x=3xm，bc===x，由题知，∠dac=45°，∠dca=90°，ab=60，△acd为等腰直角三角形，ac=dc．

x+60=3x，解得：x=30+10，2x=60+20．

答：塔高约为（60+20）m．

2．如图，信号塔pq座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔pq落在斜坡上的影子qn长为2米，落在警示牌上的影子mn长为3米，求信号塔pq的高．（结果不取近似值）

解答】解：如图作mf⊥pq于f，qe⊥mn于e，则四边形emfq是矩形．

在rt△qen中，设en=x，则eq=2x，qn2=en2+qe2，20=5x2，x＞0，x=2，en=2，eq=mf=4，mn=3，fq=em=1，在rt△pfm中，pf=fmtan60°=4，pq=pf+fq=4+1．

3．如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼cd的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在a处测得五楼顶部点d的仰角为60°，在b处测得四楼顶部点e的仰角为30°，ab=14米．求居民楼的高度（精确到0.

1米，参考数据：≈1.73）

解答】解：设每层楼高为x米，由题意得：mc′=mc﹣cc′=2.

5﹣1.5=1米，dc′=5x+1，ec′=4x+1，在rt△dc′a′中，∠da′c′=60°，c′a′==5x+1），在rt△ec′b′中，∠eb′c′=30°，c′b′==4x+1），a′b′=c′b′﹣c′a′=ab，（4x+1）﹣（5x+1）=14，解得：x≈3.

17，则居民楼高为5×3.17+2.5≈18.

4米．4．如图，在△abc中，以bc为直径的⊙o交ac于点e，过点e作ef⊥ab于点f，延长ef交cb的延长线于点g，且∠abg=2∠c．

1）求证：ef是⊙o的切线；

2）若sin∠egc=，⊙o的半径是3，求af的长．

解答】解：（1）如图，连接eo，则oe=oc，∠eog=2∠c，∠abg=2∠c，∠eog=∠abg，ab∥eo，ef⊥ab，ef⊥oe，又∵oe是⊙o的半径，ef是⊙o的切线；

2）∵∠abg=2∠c，∠abg=∠c+∠a，∠a=∠c，ba=bc=6，在rt△oeg中，∵sin∠ego=，og===5，bg=og﹣ob=2，在rt△fgb中，∵sin∠ego=，bf=bgsin∠ego=2×=，则af=ab﹣bf=6﹣=．

5．如图，ab为⊙o的直径，c、d为⊙o上的两点，∠bac=∠dac，过点c做直线ef⊥ad，交ad的延长线于点e，连接bc．

1）求证：ef是⊙o的切线；

2）若de=1，bc=2，求劣弧的长l．

解答】（1）证明：连接oc，oa=oc，∠oac=∠dac，∴∠dac=∠oca，ad∥oc，∠aec=90°，∴ocf=∠aec=90°，ef是⊙o的切线；

2）连接od，dc，∠dac=doc，∠oac=boc，∠dac=∠oac，∠doc=∠boc，cd=cb=2，∵ed=1，sin∠ecd=，∠ecd=30°，∠ocd=60°，oc=od，△doc是等边三角形，∠boc=∠cod=60°，oc=2，l==π

1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；

2）设商户每周获得的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？

3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？

解答】解：（1）依题意有：y=10x+160；

2）依题意有：

w=（80﹣50﹣x）（10x+160）=﹣10（x﹣7）2+5290，因为x为偶数，所以当销售单价定为80﹣6=74元或80﹣8=72时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；

3）依题意有：

10（x﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）．

答：他至少要准备10000元进货成本．

7．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点a（0，3），与x正半轴相交于点b，对称轴是直线x=1

1）求此抛物线的解析式以及点b的坐标．

当t为何值时，四边形ompn为矩形．

当t＞0时，△boq能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

解答】解：1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴是直线x=1，﹣=1，解得b=2，抛物线过a（0，3），c=3，抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，令y=0可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，b点坐标为（3，0）；

2）①由题意可知on=3t，om=2t，p在抛物线上，p（2t，﹣4t2+4t+3），四边形ompn为矩形，on=pm，3t=﹣4t2+4t+3，解得t=1或t=﹣（舍去），当t的值为1时，四边形ompn为矩形；

∵a（0，3），b（3，0），oa=ob=3，且可求得直线ab解析式为y=﹣x+3，当t＞0时，oq≠ob，当△boq为等腰三角形时，有ob=qb或oq=bq两种情况，由题意可知om=2t，q（2t，﹣2t+3），oq==，bq==|2t﹣3|，又由题意可知0＜t＜1，当ob=qb时，则有|2t﹣3|=3，解得t=（舍去）或t=；

当oq=bq时，则有=|2t﹣3|，解得t=；

综上可知当t的值为或时，△boq为等腰三角形．

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