1.已知⊙过点(3,4),点与点关于轴对称,过作⊙的切线交轴于点。
1)求直线ha的函数解析式;
2)求的值;
3) 如图,设⊙与轴正半轴交点为,点、是线段上的动点(与点不重合),连接并延长、交⊙于点、,直线交轴于点,若是以为底的等腰三角形,试探索的大小怎样变化,请说明理由。
解: ⑴h(3,-4) a 直线ah:
(2)解:
3)过点作于,并延长交 ⊙o于,连接,交于。
为等腰三角形,平分 ∴弧bn=弧cn
即当、两点在上运动时(与点不重合),的值不变。
2.如图,在平面直角坐标系中,半径为1的圆的圆心在坐标原点,且与两坐标轴分别交于四点.抛物线与轴交于点,与直线交于点,且分别与圆相切于点和点.
1)求抛物线的解析式;
2)抛物线的对称轴交轴于点,连结,并延长交圆于,求的长.
3)过点作圆的切线交的延长线于点,判断点是否在抛物线上,说明理由.
解:(1)圆心在坐标原点,圆的半径为1,点的坐标分别为。
抛物线与直线交于点,且分别与圆相切于点和点,点在抛物线上,将的坐标代入,得: 解之,得:
抛物线的解析式为:.
2) 抛物线的对称轴为, 连结,,又,.
3)点在抛物线上. 设过点的直线为:,将点的坐标代入,得:,直线为:. 过点作圆的切线与轴平行,点的纵坐标为,将代入,得:.
点的坐标为,当时,,所以,点在抛物线上.
3.如图,已知射线de与轴和轴分别交于点和点.动点从点出发,以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动,与此同时,动点p从点d出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线de的方向作匀速运动.设运动时间为秒.
1)请用含的代数式分别表示出点c与点p的坐标;
2)以点c为圆心、个单位长度为半径的与轴交于a、b两点(点a在点b的左侧),连接pa、pb.
当与射线de有公共点时,求的取值范围;
当为等腰三角形时,求的值.
解:(1),.
2)①当的圆心由点向左运动,使点到点并随继续向左运动时,有,即.当点在点左侧时,过点作射线,垂足为,则由,得,则.解得.
由,即,解得.当与射线有公共点时,的取值范围为.
当时,过作轴,垂足为,有,即.
解得. 当时,有,解得. 当时,有.
即.解得(不合题意,舍去).
当是等腰三角形时,,或,或,或.
4.如图11,ab是⊙o的直径,弦bc=2cm,∠abc=60. (1)求⊙o的直径;
2)若d是ab延长线上一点,连结cd,当bd长为多少时,cd与⊙o相切;
3)若动点e以2cm/s的速度从a点出发沿着ab方向运动,同时动点f以1cm/s的速度从b点出发沿bc方向运动,设运动时间为,连结ef,当为何值时,△bef为直角三角形.
解:(1)∵ab是⊙o的直径(已知)
acb=90(直径所对的圆周角是直角)
abc=60(已知)
bac=180-∠acb-∠abc= 30(三角形的内角和等于180)
∴ab=2bc=4cm(直角三角形中,30锐角所对的直角边等于斜边的一半)
即⊙o的直径为4cm.
2)如图10(1)cd切⊙o于点c,连结oc,则oc=ob=1/2·ab=2cm.
cd⊥co(圆的切线垂直于经过切点的半径)
∠ocd=90(垂直的定义bac= 30(已求)
∠cod=2∠bac= 60 ∴∠d=180-∠cod-∠ocd= 30∴od=2oc=4cm ∴bd=od-ob=4-2=2(cm) ∴当bd长为2cm,cd与⊙o相切.
3)根据题意得:
be=(4-2t)cm,bf=tcm;
如图10(2)当ef⊥bc时,△bef为直角三角形,此时△bef∽△bac
be:ba=bf:bc即:(4-2t):4=t:2解得:t=1
如图10(3)当ef⊥ba时,△bef为直角三角形,此时△bef∽△bca
be:bc=bf:ba即:(4-2t):2=t:4解得:t=1.6
当t=1s或t=1.6s时,△bef为直角三角形.
5.如图,在直角梯形abcd中,ad∥bc,∠abc=90,ab=12cm,ad=8cm,bc=22cm,ab为⊙o的直径,动点p从点a开始沿ad边向点d以1cm/s的速度运动,动点q从点c开始沿cb边向点b以2cm/s的速度运动,p、q分别从点a、c同时出发,当其中一点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t(s).
1)当t为何值时,四边形pqcd为平行四边形?
2)当t为何值时,pq与⊙o相切?
1)解:∵直角梯形。
当时,四边形为平行四边形.
由题意可知:
当时,四边形为平行四边形。
2)解:设与相切于点。
过点作垂足为。
直角梯形。由题意可知:
为的直径, 为的切线
在中,, 即:,因为在边运动的时间为秒。
而,(舍去),当秒时,与相切.
6.如图11,已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、,与轴的交点为.设的外接圆的圆心为点.
1)求与轴的另一个交点d的坐标;
2)如果恰好为的直径,且的面积等于,求和的值.
解 (1)易求得点的坐标为。
由题设可知是方程即的两根,所以,所。
如图3,∵⊙p与轴的另一个交点为d,由于ab、cd是⊙p的两条相交弦,设它们的交点为点o,连结db,∴△aoc∽△doc,则。
由题意知点在轴的负半轴上,从而点d在轴的正半轴上,所以点d的坐标为(0,1)
2)因为ab⊥cd, ab又恰好为⊙p的直径,则c、d关于点o对称,所以点的坐标为,即。
又,所以解得。
7.如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,以点为圆心,8为半径的圆与轴交于两点,过作直线与轴负方向相交成60°的角,且交轴于点,以点为圆心的圆与轴相切于点.
(1)求直线的解析式;
2)将以每秒1个单位的速度沿轴向左平移,当第一次与外切时,求平移的时间.
1)解:由题意得,点坐标为.在中,点的坐标为.
设直线的解析式为,由过两点,得。
解得直线的解析式为:.
2)如图,设平移秒后到处与第一次外切于点,与轴相切于点,连接.则。
轴,在中,. 6分,秒)平移的时间为5秒.
8.在平面直角坐标系中,已知,,且以为直径的圆交轴的正半轴于点,过点作圆的切线交轴于点.
1)求过三点的抛物线的解析式。
2)求点的坐标。
3)设平行于轴的直线交抛物线于两点,问:是否存在以线段为直径的圆,恰好。
与轴相切?若存在,求出该圆的半径,若不存在,请说明理由?
解:(1)令二次函数,则。
过三点的抛物线的解析式为
2)以为直径的圆圆心坐标为为圆切线
坐标为 3)存在。抛物线对称轴为。
设满足条件的圆的半径为,则的坐标为或。
而点在抛物线上。
故在以为直径的圆,恰好与轴相切,该圆的半径为,
9.抛物线与直线y=x+1交于a、c两点,与y轴交于b,ab∥x轴,且。
1)求抛物线的解析式。
2)p为x轴负半轴上一点,以ap、ac为边作平行四边形acqp,是否存在p,使得q点恰好在此抛物线上?若存在,请求出p、q的坐标;若不存在,请说明理由。
3)ad⊥x轴于d,以od为直径作⊙m,n为⊙m上一动点,(不与o、d重合),过n作an的垂线交x轴于r点,dn交y轴于点s,当n点运动时,线段or、os是否存在确定的数量关系?写出证明。
2)联立得a(-2,-1)c(1,2)
设p(a,0),则q(a+3,3) ∴p或 q或。
3)∵△and~△ron, ∴ons~△dno
10.如图,⊙o的半径为,正三角形abc的顶点b的坐标为(2,0),顶点a在⊙o
上运动.1)当点a在x轴上时,求点c的坐标;
2)点a在运动过程中,是否存在直线ab与⊙o相切的位
置关系,若存在,请求出点c的坐标;
3)设点a的横坐标为x,△abc的面积为s,求s与x之
间的函数关系式,并求出s的最大值与最小值;
1)解:(1)当点a的坐标为(,0)时,点c的坐标为();
当点a的坐标为(-,0)时,点c的坐标为();
2),连接oa, 当a点在x轴上方时,∵ 直线ab与⊙o相切, ∴oa⊥ab ,∴omb=90°,ob=2,oa=
∴sin∠oba=, oba=60°,∴cbx=60°,∴点c的坐标。
当a点在x轴下方时,∵∠oba=60°,∴c点在x轴上,∴点c的坐标为()
3)过点a作ae⊥ob于点e ,在rt△oae中,ae2=oa2-oe2=3-x2,在rt△bae中,ab2= ae2+be2=(3-x2)+(2-x)2=7-4x
s== 其中≤x≤,当x=时,s的最大值为, 当x=时,s的最小值为.
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