2010 年中考数学模拟试题分类汇编——压轴题。
压轴题。一、解答题。
1．（2010 年广州中考数学模拟试题一）如图，以 o 为原点的直角坐标系。
中，a 点的坐标为（0，1），直线 x=1 交 x 轴于点 b。p 为线段 ab 上一动。
点，作直线 pc⊥po，交直线 x=1 于点 c。过 p 点作直线 mn 平行于 x 轴，交 y 轴于点 m，交直线 x=1 于点 n。
（1）当点 c 在第一象限时，求证：△opm≌△pcn；
（2）当点 c 在第一象限时，设 ap 长为 m，四边形 pobc 的面积为。
s，请求出 s 与 m 间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；
（3）当点 p **段 ab 上移动时，点 c 也随之在直线 x=1 上移动，pbc 是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△pbc 成为等腰。
直角三角形的点 p 的坐标；如果不可能，请说明理由。
答案：（1）∵om∥bn，mn∥ob，∠aob=900，∴四边形 obnm 为矩形。
∴mn=ob=1,∠pmo=∠cnp=900
∵，ao=bo=1，∴am=pm。
∴om=oa-am=1-am，pn=mn-pm=1-pm，∴om=pn，∵∠opc=900，∴∠opm+cpn=900，又∵∠opm+∠pom=900 ∴∠cpn=∠pom，∴△opm≌△pcn
（2）∵am=pm=apsin450=，∴nc=pm=，∴bn=om=pn=1-；
∴bc=bn-nc=1--=3）△pbc 可能为等腰三角形。
①当 p 与 a 重合时，pc=bc=1，此时 p（0，1）
②当点 c 在第四象限，且 pb=cb 时，有 bn=pn=1-，∴bc=pb=pn=-m，nc=bn+bc=1-+-m
由⑵知：nc=pm=，∴1-+-m=， m=1
∴pm==，bn=1-=1-，∴p（,1-）.
使△pbc 为等腰三角形的的点 p 的坐标为（0，1）或（,1-）
2. （2010 年广州中考数学模拟试题(四)）关于 x 的二次函数 y＝-x2＋(k2-
4)x＋2k-2 以 y 轴为对称轴，且与 y 轴的交点在 x 轴上方．
1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图；
2)设 a 是 y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点 a 作 ab 垂直 x 轴于点 b，再过点 a 作 x 轴的平行线交抛物线于点 d，过 d 点作 dc 垂直 x 轴于点 c,得到矩形 abcd．设矩形 abcd 的周长为 l，点 a 的横坐标为 x，试求 l 关于。
x 的函数关系式；
3)当点 a 在 y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形 abcd 能否成为正方。
形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．
答案：(1)根据题意得：k2-4＝0，k＝±2 .
当 k＝2 时，2k-2＝2＞0,当 k＝－2 时，2k-2＝-6＜0.
又抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，∴k＝2 .∴抛物线的解析式为：y＝-x2＋
函数的草图如图所示：
2)令-x2＋2＝0，得 x＝±.
当 0＜x＜时，a1d1＝2x，a1b1＝-x2＋2
l＝2(a1b1＋a1d1)＝-2x2＋4x＋4.
当 x＞时，a2d2＝2x,a2b2＝-(x2＋2)＝x2-2,l＝2(a2b2＋a2d2)＝2x2＋4x-4.
l 关于 x 的函数关系式是：
3)解法①：当 0＜x＜时，令 a1b1＝a1d1,得 x2＋2x－2＝0.
解得 x=-1-(舍)，或 x=-1＋.
将 x=-1＋代入 l=-2x2＋4x＋4,得 l=8-8,当 x＞时，a2b2=a2d2
得 x2-2x-2=0,解得 x=1-(舍)，或 x=1＋,将 x=1＋代入 l=2x2＋4x-4,得 l=8＋8.
综上所述，矩形 abcd 能成为正方形，且当 x=-1＋时，正方形的周长为 8-
8；当 x=1＋时，正方形的周长为 8＋8．
解法②：当 0＜x＜时，同”解法①”可得 x=-1＋,正方形的周长 l=4a1d1=8x=8-8 .
当 x＞时，同”解法①”可得 x=1＋,正方形的周长 l=4a2d2=8x=8＋8 .
综上所述，矩形 abcd 能成为正方形，且当 x=-1＋时，正方形的周长为 8
8；当 x=1＋时，正方形的周长为 8＋8．
解法③：∵点 a 在 y 轴右侧的抛物线上，当 x＞0 时，且点 a 的坐标为(x，-x2＋2).
令 ab＝ad，则=2x,-x2＋2=2x, ①
或-x2＋2=-2x, ②
由①解得 x=-1-(舍)，或 x=-1＋,由②解得 x=1-(舍)，或 x=1＋.
又 l=8x,∴当 x=-1＋时，l=8-8；
当 x=1＋时，l=8＋8.
综上所述，矩形 abcd 能成为正方形，且当 x=-1＋时，正方形的周长为 8-
8；当 x=1＋时，正方形的周长为 8＋8．
3.（2010 年河南省南阳市中考模拟数学试题）如图所示， 在平面直角坐标。
系 xoy 中， 矩形 oabc 的边长 oa、oc 分别为 12cm、6cm, 点 a、c 分别在。
y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上， 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 a、b, 且 18a +
c = 0.
(1)求抛物线的解析式。
(2)如果点 p 由点 a 开始沿 ab 边以 1cm/s 的速度向终点 b 移动， 同时点。
q 由点 b 开始沿 bc 边以 2cm/s 的速度向终点 c 移动。
①移动开始后第 t 秒时， 设△pbq 的面积为 s, 试写出 s 与 t 之间的函。
数关系式， 并写出 t 的取值范围。
②当 s 取得最大值时， 在抛物线上是否存在点 r, 使得以 p、b、q、r
为顶点的四边形是平行四边形？ 如果存在， 求出 r 点的坐标， 如果不存在， 请。
说明理由。答：（1）设抛物线的解析式为，由题意知点 a（0，-12），所以，又 18a+c=0,ab∥cd,且 ab=6,抛物线的对称轴是。∴.所以抛物线的解析式为。
当时，s 取最大值为 9。这时点 p 的坐标（3，-12），点 q 坐标（6，-
若以 p、b、q、r 为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：
ⅰ）当点 r 在 bq 的左边，且在 pb 下方时，点 r 的坐标（3，-18），将（3，-18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点 r 的坐标就是（3，－18）；
ⅱ）当点 r 在 bq 的左边，且在 pb 上方时，点 r 的坐标（3，-6），将（3，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点 r 不满足条。
件。ⅲ）当点 r 在 bq 的右边，且在 pb 上方时，点 r 的坐标（9，-6），将（9，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点 r 不满足条。
件。综上所述，点 r 坐标为（3，-18）.
4．(2010 年江西省统一考试样卷)已知二次函数 y=x2＋bx＋c 与 x 轴交于 a
－1，0）、b（1，0）两点。
（1）求这个二次函数的关系式；
2）若有一半径为 r 的⊙p，且圆心 p 在抛物线上运动，当⊙p 与两坐标。
轴都相切时，求半径 r 的值。
3）半径为 1 的⊙p 在抛物线上，当点 p 的纵坐标在什幺范围内取值时，p 与 y 轴相离、相交？
答案：解：（1）由题意，得解得。
二次函数的关系式是 y=x2－1．
2）设点 p 坐标为（x，y），则当⊙p 与两坐标轴都相切时，有 y=±x．
由 y=x，得 x2－1=x，即 x2－x－1=0，解得 x=．
由 y=－x，得 x2－1=－x，即 x2＋x－1=0，解得 x=．
⊙p 的半径为 r=|x|=．
3）设点 p 坐标为（x，y），∵p 的半径为 1，当 y＝0 时，x2－1=0，即 x＝±1，即⊙p 与 y 轴相切，又当 x＝0 时，y＝－1，当 y＞0 时， ⊙p 与 y 相离；
当－1≤y＜0 时， ⊙p 与 y 相交。
5．(2010 年山东宁阳一模)如图示已知点 m 的坐标为（4，0），以 m 为圆心，以 2 为半径的圆交 x 轴于 a、b，抛物线。
过 a、b 两点且与 y 轴交于点 c．
1）求点 c 的坐标并画出抛物线的大致图象。
2）已知点 q（8，m），p 为抛物线对称轴上一动点，求出 p 点坐标使得 pq+pb 值最小，并求出最小值．
3）过 c 点作⊙m 的切线 ce，求直线 oe 的解析式．
答案：（1）将 a（2，0）b（6，0）代入中。
∴将 x=0 代入，y=2
c（0，2）
2）将 x=8 代入式中，y=2
∴ q（8，2）
过 q 作 qk⊥x 轴。
过对称轴直线 x=4 作 b 的对称点 a
pb+pq=qa
在 rt△aqk 中，aq= 即，pb+pq=
pm∥kq 即△apm∽△aqk ∴pa= p（4，）
6.（2010 年河南中考模拟题 1）如图，在中，∠°的面积为，点为边上。
的任意一点(不与、重合)，过点作∥，交于点．设以为折线将△翻折，所得的。
与梯形重叠部分的面积记为 y.
1）．用 x 表示？ade 的面积；
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