1．如图，点a在双曲线上，点b在双曲线上，且ab∥x轴，c、d在x轴上，若四边形abcd为平行四边形，则它的面积为 ▲ 2 。
2．如图，菱形oabc的一边oa在x轴上，将菱形oabc绕原点o顺时针旋转75°至oa’b’c’的位置。若ob=，∠c=120°，则点b’的坐标为（▲）
a. b. c. d.
3．如图，直角梯形abcd的顶点a、b、c的坐标分别为（，0）、（2，0）和（2，3），ab∥cd，∠c＝90°，cd＝cb．
1）求点d的坐标；
2）抛物线y＝ax2＋bx＋c过原点o与点（7，1），且对称轴为过点（4，3）与y轴平行的直线，求抛物线的函数关系式；
3）在（2）中的抛物线上是否存在一点p，使得pa＋pb＋pc＋pd最小？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）d（－1，32分）
2）设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c
由题意得：，∴
y＝－x2＋x5分）
3）显然ac、bd的交点q满足qa＋qb＋qc＋qd最小，直线ac的解析式为y＝2x－16分）
直线bd的解析式为y＝－x＋27分）
q（1，18分）
当x＝1时，y＝－x2＋x＝1，
点q在此抛物线上9分）
存在点p（1，1）使得pa＋pb＋pc＋pd最小10分）
4．如图，ob是矩形oabc的对角线，抛物线y＝－x＋x＋6经过b、c两点．
1)求点b的坐标；
2)d、e分别是oc、ob上的点，od＝5，oe＝2eb，过d、e的直线交轴于f，试说明oe⊥ df；
3)若点m是(2)中直线de上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点n，使以o、d、m、n为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点n的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设x＝0，则y＝6，则点c的坐标为（0，6），…1分，又矩形oabc，则bc∥x轴，∵抛物线y＝－x＋x＋6过b、c两点，则b、c两点关于抛物线的对称轴x＝对称，……2分。
b点坐标为(3，6) …3分。
(2) 如图1，作egx轴于点g，则eg//ba， ∴oeg~△obh，∴＝又∵oe＝2eb，og＝2，eg＝4，∴点e的坐标为(2，4)．…4分。
又∵点d的坐标为(0，5)，设直线de的解析式为y＝kxb，则，解得k＝－，b＝5．∴直线de的解析式为：y＝－x5，……5分。
设y＝0，则x＝10，则of＝10，gf＝of－og＝8，＝＝又∠oge＝∠egf＝90°，∴oge∽△egf，∴∠eog＝∠feg
∠feo＝∠feg＋∠oeg＝∠eog＋∠oeg＝90°……7分。
其他证法酌情给分。
(3) 答：存在．
如图1，当od＝dm＝mn＝no＝5时，四边形odmn为菱形．作mpy轴于点p，则mp//x轴，∴△mpd~△fod，∴＝
又∵of＝10．
在rt△odf中，fd＝＝＝5， ∴mp＝2，pd＝．∴点m的坐标为(2，5)．
∴点n的坐标为(2，)．
如图2，当od＝dn＝nm＝mo＝5时，四边形odnm为菱形．延长nm交x轴于点p，则mpx轴．
∵点m在直线y＝－x5上，∴设m点坐标为。
(a，－ a5)，在rt△opm中，op 2pm 2＝om 2，∴a2(－a5)2＝52，解得a1＝4，a2＝0(舍去)，∴点m的坐标为(4，3)，∴点n的坐标为(4，8)．
如图3，当om＝md＝dn＝no时，四边形omdn为菱形．连接nm，交od于点p，则nm与od互相垂直平分，ym＝yn＝op＝，∴xm5＝，∴xm＝5，∴xn＝ xm＝ 5，∴点n的坐标为(5，)．
综上所述，x轴上方的点n有三个，分别为。
n1(2，)，n2(4，8)，n3(5，)．10分（每个1分）
5．如图，四边形是平行四边形，抛物线过三点，与轴交于另一点。一动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿向点运动，运动到点停止，同时一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点运动，与点同时停止。
1）求抛物线的解析式；
2）若抛物线的对称轴与交于点，与轴交于点，当点运动时间为何值时，四边形是等腰梯形？
3）当为何值时，以为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？
解：1）四边形是平行四边形，
抛物线过点，
由题意，有解得所求抛物线的解析式为。
2）将抛物线的解析式配方，得抛物线的对称轴为
欲使四边形为等腰梯形，则有。
3）欲使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似，有或。
即或。若在轴的同侧。当时，=，
当时，即解得。
若在轴的异侧。当时，，
当时，，即。解得。
故舍去。 当或或或秒时，以为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似。
6已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为。直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点。
1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；
2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；
3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由。
2）由题意得点与点′关于轴对称，将′的坐标代入得，（不合题意，舍去），.
点到轴的距离为3.， 直线的解析式为，它与轴的交点为点到轴的距离为。
3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，得： （不舍题意，舍去），，
当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分， 与关于原点对称，将点坐标代入抛物线解析式得：，（不合题意，舍去），，
存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．
7如图14（1），抛物线与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c（0，）．图14（2）、图14（3）为解答备用图］
1） ，点a的坐标为 ，点b的坐标为 ；
2）设抛物线的顶点为m，求四边形abmc的面积；
3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点d，使四边形abdc的面积最大？若存在，请求出点d的坐标；若不存在，请说明理由；
4）在抛物线上求点q，使△bcq是以bc为直角边的直角三角形．
解：（1），（1，0），b（3，0）．
2）如图14（1），抛物线的顶点为m（1，-4），连结om．
则 △aoc的面积=，△moc的面积=，△mob的面积=6， 四边形 abmc的面积=△aoc的面积+△moc的面积+△mob的面积=9．
说明：也可过点m作抛物线的对称轴，将四边形abmc的面。
积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．
3）如图14（2），设d（m，），连结od．
则 0＜m＜3， ＜0． 且 △aoc的面积=，△doc的面积。
dob的面积=-（四边形 abdc的面积=△aoc的面积+△doc的面积+△dob的面积。
存在点d，使四边形abdc的面积最大为．
4）有两种情况：
如图14（3），过点b作bq1⊥bc，交抛物线于点q1、交y轴于点e，连接q1c．
∠cbo=45°，∴ebo=45°，bo=oe=3．
点e的坐标为（0，3）． 直线be的解析式为． 12分。
由解得 ∴ 点q1的坐标为（-2，5）． 13分。
如图14（4），过点c作cf⊥cb，交抛物线于点q2、交x轴于点f，连接bq2．
∠cbo=45°，∴cfb=45°，of=oc=3．
点f的坐标为（-3，0）．∴直线cf的解析式为． 14分。
由解得 点q2的坐标为（1，-4）．综上，在抛物线上存在点q1（-2，5）、q2（1，-4），使△bcq1、△bcq2是以bc为直角边的直角三角形．
8已知：如图所示，关于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．
1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
2）在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的解析式；
3）在（2）中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点．是否存在以为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）根据题意，得，解得。
抛物线的解析式为，顶点坐标是（2，4）
2），设直线的解析式为。
直线经过点点
3）存在．，9.如图18，抛物线f：的顶点为p，抛物线：
与y轴交于点a，与直线op交于点b．过点p作pd⊥x轴于点d，平移抛物线f使其经过点a、d得到抛物线f′：，抛物线f′与x轴的另一个交点为c．
当a = 1，b=－2，c = 3时，求点c的坐标(直接写出答案)；
若a、b、c满足了。
求b：b′的值；
**四边形oabc的形状，并说明理由．
1） c（3，0）；
2）①抛物线，令=0，则=， a点坐标（0，c）．，点p的坐标为（）．
pd⊥轴于d，∴点d的坐标为（）．
根据题意，得a=a′，c= c′，∴抛物线f′的解析式为．
又∵抛物线f′经过点d（），
．又∵，∴b:b′=．
由①得，抛物线f′为．
令y=0，则． ∴
点d的横坐标为∴点c的坐标为（）．
设直线op的解析式为．∵点p的坐标为（），
点b是抛物线f与直线op的交点，∴．
点p的横坐标为，∴点b的横坐标为．把代入，得．
点b的坐标为．∴bc∥oa，ab∥oc．（或bc∥oa，bc =oa），∴四边形oabc是平行四边形．
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